Question

（ 25分）如圖所示，在半徑為的圓柱空間中（圖中圓為其橫截面）充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為的均勻磁場(chǎng)，其方向平行于軸線遠(yuǎn)離讀者．在圓柱空間中垂直軸線平面內(nèi)固定放置一絕緣材料制成的邊長(zhǎng)為的剛性等邊三角形框架，其中心位于圓柱的軸線上．邊上點(diǎn)（）處有一發(fā)射帶電粒子的源，發(fā)射粒子的方向皆在圖中截面內(nèi)且垂直于邊向下．發(fā)射粒子的電量皆為（＞0），質(zhì)量皆為，但速度有各種不同的數(shù)值．若這些粒子與三角形框架的碰撞均為完全彈性碰撞，并要求每一次碰撞時(shí)速度方向垂直于被碰的邊．試問：

1．帶電粒子速度的大小取哪些數(shù)值時(shí)可使點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到點(diǎn)？

2. 這些粒子中，回到點(diǎn)所用的最短時(shí)間是多少？

Answer 1

解析：

帶電粒子（以下簡(jiǎn)稱粒子）從點(diǎn)垂直于邊以速度射出后，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心一定位于邊上，其半徑可由下式

求得

                                           （1）

1. 要求此粒子每次與的三條邊碰撞時(shí)都與邊垂直，且能回到點(diǎn)，則和應(yīng)滿足以下條件：

（）與邊垂直的條件．

由于碰撞時(shí)速度與邊垂直，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓的圓心一定位于的邊上，粒子繞過頂點(diǎn)、、時(shí)的圓弧的圓心就一定要在相鄰邊的交點(diǎn)（即、、）上．粒子從點(diǎn)開始向右作圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡為一系列半徑為的半圓，在邊上最后一次的碰撞點(diǎn)與點(diǎn)的距離應(yīng)為，所以的長(zhǎng)度應(yīng)是的奇數(shù)倍。粒子從邊繞過點(diǎn)轉(zhuǎn)回到點(diǎn)時(shí)，情況類似，即的長(zhǎng)度也應(yīng)是軌道半徑的奇數(shù)倍．取，則當(dāng)的長(zhǎng)度被奇數(shù)除所得的也滿足要求，即

          ＝1，2，3，…

因此為使粒子與各邊發(fā)生垂直碰撞，必須滿足下面的條件

                （2）

此時(shí)

為的奇數(shù)倍的條件自然滿足．只要粒子繞過點(diǎn)與邊相碰，由對(duì)稱關(guān)系可知，以后的碰撞都能與的邊垂直．

（）粒子能繞過頂點(diǎn)與的邊相碰的條件．

由于磁場(chǎng)局限于半徑為的圓柱范圍內(nèi)，如果粒子在繞點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)圓軌跡與磁場(chǎng)邊界相交，它將在相交點(diǎn)處以此時(shí)的速度方向沿直線運(yùn)動(dòng)而不能返回．所以粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不能太大，由圖可見，必須（的頂點(diǎn)沿圓柱半徑到磁場(chǎng)邊界的距離，時(shí)，粒子圓運(yùn)動(dòng)軌跡與圓柱磁場(chǎng)邊界相切），由給定的數(shù)據(jù)可算得

                                （3）

將1，2，3，…，分別代入（2）式，得

   

    

   

   

由于，，≥，這些粒子在繞過的頂點(diǎn)時(shí)，將從磁場(chǎng)邊界逸出，只有≥4的粒子能經(jīng)多次碰撞繞過、、點(diǎn)，最終回到點(diǎn)．由此結(jié)論及（1）、（2）兩式可得與之相應(yīng)的速度

                （4）

這就是由點(diǎn)發(fā)出的粒子與的三條邊垂直碰撞并最終又回到點(diǎn)時(shí)，其速度大小必須滿足的條件．

2. 這些粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為

  

將（1）式代入，得

               （5）

可見在及給定時(shí)與無關(guān)。粒子從點(diǎn)出發(fā)最后回到點(diǎn)的過程中，與的邊碰撞次數(shù)愈少，所經(jīng)歷的時(shí)間就愈少，所以應(yīng)取，如圖所示（圖中只畫出在邊框的碰撞情況），此時(shí)粒子的速度為，由圖可看出該粒子的軌跡包括3×13個(gè)半圓和3個(gè)圓心角為300°的圓弧，所需時(shí)間為

                               （6）

以（5）式代入得

                                              （7）

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分

第一問15分；第二問10分。第一問中：（1）式2分；（2）式5分；分析出≥4的結(jié)論給4分；（4）式4分。第二問中：（5）式1分；（6）式7分；（7）式2分。