Question

6．如圖，一方形區(qū)域abcd，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，處于一正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于abcd平面向里，有一放射源可向紙面內(nèi)各方向發(fā)射質(zhì)量都是m，電荷量都是q，速度大小都為v的正電粒子，其中沿某方向發(fā)射的粒子，進(jìn)入場(chǎng)區(qū)后恰能沿直線運(yùn)動(dòng)，不發(fā)生偏轉(zhuǎn)．現(xiàn)撤去磁場(chǎng)，將放射源置于a點(diǎn)，則從bc邊中點(diǎn)射出的粒子速度大小為$\sqrt{3}$v，從cd邊中點(diǎn)射出的粒子速度大小為$\sqrt{5}$v，（不考慮粒子的重力和粒子間相互作用力）求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小和方向．
（2）若撤去磁場(chǎng)，粒子從某邊中點(diǎn)沿垂直該邊的方向射入，則粒子射出該區(qū)域時(shí)的動(dòng)能為多少？
（3）撤去電場(chǎng)，讓粒子從ab邊的中點(diǎn)射入，則從ad邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間之差．

Answer 1

分析 （1）電場(chǎng)力對(duì)粒子做功，應(yīng)用動(dòng)能定理求出兩點(diǎn)間的電勢(shì)差，電場(chǎng)線垂直與等勢(shì)面，根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)差的關(guān)系求出電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）撤去磁場(chǎng)，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力對(duì)粒子做功，應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出粒子離開區(qū)域時(shí)的動(dòng)能．
（3）粒子在電磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件求出磁感應(yīng)強(qiáng)度，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用牛頓第二定律求出粒子的軌道半徑，根據(jù)粒子周期求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之差．

解答 解：（1）如圖所示，設(shè)P點(diǎn)是bc邊的中點(diǎn)，a、P間的電勢(shì)差為U_ap，

由動(dòng)能定理得：qU_ap=$\frac{1}{2}$m（$\sqrt{3}$v）²-$\frac{1}{2}$mv²，解得：U_ap=$\frac{m{v}^{2}}{q}$，
設(shè)Q點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn)，a、Q間的電勢(shì)差為U_aQ，
由動(dòng)能定理得：qU_aQ=$\frac{1}{2}$m（$\sqrt{5}$v）²-$\frac{1}{2}$mv²，解得：U_aQ=$\frac{2m{v}^{2}}{q}$，
設(shè)M點(diǎn)是aQ連線的中點(diǎn)，則：U_aM=$\frac{1}{2}$U_aQ，所以M、P兩點(diǎn)電勢(shì)相等，
因此，該電場(chǎng)的等勢(shì)面PM恰好是ad和bc的中線，即E的方向沿ad或bc的方向，
設(shè)場(chǎng)強(qiáng)大小為E，有：EL=U_aQ=$\frac{2m{v}^{2}}{q}$，解得：E=$\frac{2m{v}^{2}}{qL}$；
（2）若粒子從ab中點(diǎn)射入，則粒子做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有：E_K=$\frac{1}{2}$mv²+qEL=$\frac{5}{2}$mv²，
若粒子從cd中點(diǎn)射入，則粒子做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度減至零后再反向做勻加速運(yùn)動(dòng)，最終從cd邊射出，有：E_K=$\frac{1}{2}$mv²，
若粒子從ad邊或bc邊中點(diǎn)入射，則粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，粒子將從cd邊射出，有：E_K=$\frac{1}{2}$mv²+qE•$\frac{1}{2}$L=$\frac{3}{2}$mv²；
（3）設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為B，粒子在電磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：qvB=qE，解得：B=$\frac{2mv}{qL}$，
設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{1}{2}$L，
從ab的中點(diǎn)沿ab方向入射，從ad邊射出時(shí)，其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，最長(zhǎng)時(shí)間：t₁=$\frac{3}{4}$T，
當(dāng)粒子從ab中點(diǎn)入射，從a點(diǎn)射出時(shí)，其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，最短時(shí)間：t₂=$\frac{1}{6}$T，
而粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期：T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πL}{v}$，故時(shí)間差：△t=t₁-t₂=$\frac{7πL}{12v}$；
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小為：$\frac{2m{v}^{2}}{qL}$，方向沿ad或bc的方向；
（2）若粒子從ab中點(diǎn)射入，粒子射出該區(qū)域時(shí)的動(dòng)能為：$\frac{5}{2}$mv²，
若粒子從cd中點(diǎn)射入，粒子射出該區(qū)域時(shí)的動(dòng)能為：$\frac{1}{2}$mv²，
若粒子從ad邊或bc邊中點(diǎn)入射，粒子射出該區(qū)域時(shí)的動(dòng)能為：$\frac{3}{2}$mv²；
（3）撤去電場(chǎng)，讓粒子從ab邊的中點(diǎn)射入，則從ad邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間之差為$\frac{7πL}{12v}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)過程復(fù)雜，本題難度較大，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程是解題的前提與關(guān)鍵，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程后應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式可以解題；解題時(shí)要注意討論，這是易錯(cuò)點(diǎn)，否則會(huì)漏解．