Question

【題目】（20分）

發(fā)電機和電動機具有裝置上的類似性，源于它們機理上的類似性。直流發(fā)電機和直流電動機的工作原理可以簡化為如圖1、圖2所示的情景。

在豎直向下的磁感應強度為B的勻強磁場中，兩根光滑平行金屬軌道MN、PQ固定在水平面內，相距為L，電阻不計。電阻為R的金屬導體棒ab垂直于MN、PQ放在軌道上，與軌道接觸良好，以速度v（v平行于MN）向右做勻速運動。

圖1軌道端點MP間接有阻值為r的電阻，導體棒ab受到水平向右的外力作用。圖2軌道端點MP間接有直流電源，導體棒ab通過滑輪勻速提升重物，電路中的電流為I。

（1）求在Δt時間內，圖1“發(fā)電機”產生的電能和圖2“電動機”輸出的機械能。

（2）從微觀角度看，導體棒ab中的自由電荷所受洛倫茲力在上述能量轉化中起著重要作用。為了方便，可認為導體棒中的自由電荷為正電荷。

a．請在圖3（圖1的導體棒ab）、圖4（圖2的導體棒ab）中，分別畫出自由電荷所受洛倫茲力的示意圖。

b．我們知道，洛倫茲力對運動電荷不做功。那么，導體棒ab中的自由電荷所受洛倫茲力是如何在能量轉化過程中起到作用的呢？請以圖2“電動機”為例，通過計算分析說明。

Answer 1

【答案】⑴E1＝，E2＝ILBvΔt；⑵a．；b．略，見解析。

【解析】⑴圖1中由于導體棒ab運動切割磁感線，回路中產生感應電流I1＝

由于電流做功，導體棒與電阻發(fā)熱產生焦耳熱，由焦耳定律、閉合電路歐姆定律和能量守恒定律可知，圖1“發(fā)電機”產生的電能為：E1＝

在圖2中，對重物和導體棒分別應用平衡條件有：T＝mg，T＝ILB

提升重物做功為：W＝mgvΔt

根據(jù)功能關系可知，圖2“電動機”輸出的機械能為：E2＝W

解得：E2＝ILBvΔt

⑵a．根據(jù)右手定則可知，圖1中電流方向為b→a

根據(jù)左手定則可以判斷出圖1棒中自由電荷所受洛倫茲力f洛方向水平向左

由圖2電路結構可知，棒中電流方向為a→b，導體棒中自由電荷為自由電子，因此沿棒移動速率v1的方向為b→a，同時由于棒水平向右勻速運動速率為v，其合速度v合方向應水平向右偏向棒a端

根據(jù)左手定則可以判斷圖2棒中自由電荷所受洛倫茲力f洛′方向水平向右偏向棒b端，與v合垂直

兩情況下棒中自由電荷所受洛倫茲力的示意圖如下圖所示

b．設自由電荷量為q沿導體棒定向移動的速率為u。

如上右圖所示，沿棒方向的洛倫茲力，做負功

垂直棒方向的洛倫茲力，做正功

所示，即導體棒中一個自由電荷所受的洛倫茲力做功為零。

做負功，阻礙自由電荷的定向移動，宏觀上表現(xiàn)為“反電動勢”，消耗電源的電能；做正功，宏觀上表現(xiàn)為安培力做正功，使機械能增加。大量自由電荷所受洛倫茲力做功的宏觀表現(xiàn)是將電能轉化為等量的機械能，在此過程中洛倫茲力通過兩個分力做功起到“傳遞能量的作用。