Question

【題目】央視《加油向未來》節(jié)目組曾經做過一個實驗，如圖1所示，高為h的分別是由銅、鋁和不銹鋼做成的三個豎直軌道A、B、C垂直立在水平地面上，軌道的形狀、橫截面積都相同，所用金屬的相關參數如下表。節(jié)目組讓3個相同的內部都固定了相同強磁體的木制小車分別從A、B、C三個軌道上端同時由靜止釋放，小車運動時不與軌道發(fā)生摩擦，空氣阻力忽略不計。3個相同的小車及固定磁鐵的總質量均為m。

(1)請在如圖2的坐標系中畫出小車由靜止釋放沿A軌道運動直到落地的v—t圖像；

(2)請根據題目信息判斷沿哪個軌道運動的小車最先到達地面，并定性說明理由；

(3)假如A軌道的小車最后穩(wěn)定下落的速度為v0，求該小車達到穩(wěn)定速度后銅軌道的熱功率P0；

(4)軌道之所以發(fā)熱是因為金屬有電阻。經典物理學認為：金屬的電阻源于定向運動的自由電子和金屬離子（即金屬原子失去電子后剩余的那部分）的碰撞。在外加電場下自由電子做定向移動的過程中要不斷與金屬離子發(fā)生碰撞，將其動能全都交給金屬離子，然后在電場的作用下重新開始加速運動一段距離后，再與金屬離子發(fā)生碰撞。經加速運動電子在兩次碰撞之間走的平均距離叫自由程，用L表示。某金屬單位體積內自由電子數為n，電子的質量為m，電子的電荷量為e。電子在該金屬一個自由程的運動時間為t。

a．假設電子每段自由程中都沿電流方向做勻加速直線運動，求該金屬的電阻率；

b．如果在考慮大量電子的統(tǒng)計效果時，不考慮每個電子斷斷續(xù)續(xù)地碰撞，而著眼于實際運動的平均結果，可等效為電子在金屬中勻速直線運動，而金屬給電子以持續(xù)的摩擦阻力，該摩擦阻力的大小與電子平均速度成正比，求其摩擦因數為k。

金屬	溫度（°C）	密度（）	電阻率（）	硬度 （金剛石硬度為10）
銅	20	8．9	1．7	2．8
鋁	20	2．7	2．9	2．6
不銹鋼	20	7．8	10．0	4．6

Answer 1

【答案】(1)；(2)見解析；(3)；(4)a.；b.

【解析】

(1)如圖所示

(2)沿C（不銹鋼）軌道的小車最先到達地面。強磁鐵相對金屬導體運動，由電磁感應定律和楞次定律可知，在金屬中要產生感應電流（渦流），該感應電流將對強磁鐵的小車產生阻力作用，小車將克服該阻力將部分機械能轉化為電能。由于三輛小車最初的機械能相同，而這三種金屬中銅的電阻率最小，在相同條件下銅軌道的電阻也最小，感應電流最大，阻礙最強，機械能轉化為電能的功率最大，將最晚落到地面；而不銹鋼軌道的電阻率最大，其感應電流最小，阻礙最弱，機械能轉化為電能的功率最小，將最先落到地面。

(3)小車穩(wěn)定（勻速）下落過程中，可認為減少的重力勢能全部轉化為銅軌道的熱能，即

變形可得

(4)金屬中電子定向移動的平均速度為

電流強度的微觀表達式為

電子在自由程內加速，由動能定理

電子勻加速直線運動，則有

由歐姆定律可得

由電阻定律可得

聯立解得

設自由程內總得電荷數為N，電場力做功功率等于克服阻力做功的功率，即

由題意可知

聯立解得