Question

11．如圖所示，相距為R的兩塊平行金屬板M、N正對(duì)著放置，s₁，s₂分別為M、N板上的小孔，s₁、s₂、O三點(diǎn)共線(xiàn)，它們的連線(xiàn)垂直M、N，且s₂O=R．以O(shè)為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．D為收集板，板上各點(diǎn)到O點(diǎn)的距離以及板兩端點(diǎn)的距離都為2R，板兩端點(diǎn)的連線(xiàn)垂直M、N板．質(zhì)量為m，帶電量為+q的粒子，經(jīng)s₁進(jìn)入M、N間的電場(chǎng)后，通過(guò)s₂進(jìn)入磁場(chǎng)．粒子在s₁處的速度和粒子所受的重力均不計(jì)．
（1）當(dāng)M、N間的電壓為U時(shí)，求粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小v；
（2）若粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上，求M、N間的電壓值U₀；
（3）當(dāng)M，N間的電壓不同時(shí)，粒子從s₁到打在D上經(jīng)歷的時(shí)間t會(huì)不同，求打在D上經(jīng)歷的時(shí)間的范圍．

Answer 1

分析 （1）粒子從s₁到達(dá)s₂的過(guò)程中，電場(chǎng)力做功W=qU，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小υ．
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{4}$圓弧，軌跡半徑等于R，根據(jù)牛頓第二定律和動(dòng)能定理求解M、N間的電壓．
（3）粒子從s₁到打在D上經(jīng)歷的時(shí)間t等于在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間和穿出磁場(chǎng)后勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之和．M、N間的電壓越大，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度越大，在極板間經(jīng)歷的時(shí)間越短，同時(shí)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑越大，在磁場(chǎng)中粒子磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)角度越小，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也會(huì)越短，出磁場(chǎng)后勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也越短，故當(dāng)粒子打在收集板D的右端時(shí)，對(duì)應(yīng)時(shí)間t最短．根據(jù)幾何知識(shí)求出打在D的右端時(shí)軌跡半徑，根據(jù)前面的結(jié)果求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出三段時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理：$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得：$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）若粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)，由幾何關(guān)系得：粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：r=R
由：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
結(jié)合（1）得：${U}_{0}=\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$
（3）若粒子打在收集板的最左端，由幾何關(guān)系得粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為
${r}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}R$ 
轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角${θ}_{1}=\frac{2}{3}π$
設(shè)此時(shí)對(duì)應(yīng)的速度v₁，$q{v}_{1}B=\frac{m{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
粒子從s₁到打在D板上經(jīng)歷的時(shí)間${t}_{1}=\frac{2R}{{v}_{1}}+\frac{{θ}_{1}}{2π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{2m}{3qB}（3\sqrt{3}+π）$
若粒子打在收集板的最右端，由幾何關(guān)系得粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：${r}_{2}=\sqrt{3}$R
 轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角${θ}_{2}=\frac{1}{3}π$
設(shè)此時(shí)對(duì)應(yīng)的速度v₂，$q{v}_{2}B=\frac{m{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$
粒子從s₁到打在D板上經(jīng)歷的時(shí)間${t}_{2}=\frac{2R}{{v}_{2}}+\frac{{θ}_{2}}{2π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{m}{3qB}（2\sqrt{3}+π）$
即打在收集板D上經(jīng)歷的時(shí)間范圍：$\frac{m}{3qB}（2\sqrt{3}+π）≤t≤\frac{2m}{3qB}（3\sqrt{3}+π）$
答：（1）當(dāng)M、N間的電壓為U時(shí)，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小是$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）若粒子恰好打在收集板D的中點(diǎn)上，M、N間的電壓值是$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$；
（3）當(dāng)M，N間的電壓不同時(shí)，粒子從s₁到打在D上經(jīng)歷的時(shí)間t會(huì)不同，打在D上經(jīng)歷的時(shí)間的范圍$\frac{m}{3qB}（2\sqrt{3}+π）≤t≤\frac{2m}{3qB}（3\sqrt{3}+π）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分析和處理粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡問(wèn)題，難點(diǎn)在于分析時(shí)間的最小值，也可以運(yùn)用極限分析法分析．