Question

一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的內(nèi)徑大得多），在圓管中有兩個(gè)直徑略小于細(xì)管內(nèi)徑的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）A、B，A球質(zhì)量為m₁，B球質(zhì)量為m₂，它們沿圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)圓管最低點(diǎn)時(shí)速度都是v₀，若某時(shí)刻A球在圓管最低點(diǎn)時(shí)，B球恰好在圓管最高點(diǎn)，兩球作用于圓管的合力為零，求m₁、m₂、R與v₀應(yīng)滿足的關(guān)系式．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，分析物理情景．A球?qū)�圓管的壓力向下．為使兩球作用于圓管的合力為零，B球?qū)�圓管的作用力只能向上，所以軌道對(duì)B球的作用力方向向下．對(duì)A、B兩球用牛頓第二定律分別列出方程，根據(jù)管對(duì)兩球的作用力N₂與N₁等值反向，得到速度的關(guān)系式．再結(jié)合機(jī)械能守恒定律，就能得到m₁、m₂、R與v₀應(yīng)滿足的關(guān)系式．

解答：解：如圖所示，A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度為V₀，A球受到向下重力mg和細(xì)管向上彈力N₁的作用，其合力提供向心力．根據(jù)牛頓第二定律，得N₁-m₁g=m₁

v 2 0

R

①
   這時(shí)B球位于最高點(diǎn)，設(shè)速度為V₁，B球受向下重力m₂g和細(xì)管彈力N₂作用．球作用于細(xì)管的力是N₁、N₂的反作用力，要求兩球作用于細(xì)管的合力為零，即要求N₂與N₁等值反向，N₁=N₂ ②，且N₂方向一定向下，
   對(duì)B球：N₂+m₂g=m₂

v 2 1

R

③B球由最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度為V₀，此過(guò)程中機(jī)械能守恒定律，得：
　 即

1

2

m₂V₁²+m₂g?2R=

1

2

m₂V₀² ④
　 由①②③④式消去N₁、N₂和V₁后得到m₁、m₂、R與V₀滿足的關(guān)系式是：
　 （m₁-m₂）

v 2 0

R

+（m₁+5m₂）g=0 ⑤
答：m₁、m₂、R與v₀應(yīng)滿足的關(guān)系式為 （m₁-m₂）

v 2 0

R

+（m₁+5m₂）g=0

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵語(yǔ)句：A球在圓管最低點(diǎn)時(shí)，B球恰好在圓管最高點(diǎn)，兩球作用于圓管的合力為零．這是解題的突破口．綜合題的基礎(chǔ)還是對(duì)兩球運(yùn)動(dòng)的分析和受力的分析．