Question

4．如圖甲所示，建立Oxy坐標(biāo)系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱，極板長(zhǎng)度和板間距均為l．第一、四象限有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于Oxy平面向里．位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右連接發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度相同、重力不計(jì)的帶電粒子．在0.3t₀時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓（不考慮極板邊緣電場(chǎng)的影響）．已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子恰好在t₀時(shí)刻經(jīng)極板邊緣射入磁場(chǎng)．上述m、q、l、t₀、B為已知量．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）

（1）求電壓U₀的大�。�
（2）求t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（3）求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間和最長(zhǎng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）首先求出電容器加有電壓時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度，從而求出有電場(chǎng)時(shí)的加速度，把粒子的運(yùn)動(dòng)在豎直方向上分為兩段，先是勻加速運(yùn)動(dòng)，后是勻速運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上，這兩段位移的和大小上等于板間距離的一半．列式即可求出電壓．
（2）當(dāng)t₀=0時(shí)，粒子進(jìn)入電場(chǎng)，根據(jù)已知條件求出離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)水平方向上的速度和豎直方向上的速度，即可求出和速度的大小，結(jié)合半徑公式即可求出在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（3）帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，即為進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸的夾角最小的情況，當(dāng)在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度最大時(shí)，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，畫(huà)出離子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，結(jié)合幾何知識(shí)即可求出最短與最長(zhǎng)時(shí)間．

解答 解：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在電場(chǎng)中做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，
t₀時(shí)刻剛好從極板邊緣射出，在y軸負(fù)方向偏移的距離為$\frac{1}{2}l$，
則有：$E=\frac{U_0}{l}$，由牛頓第二定律得：Eq=ma，$\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}$at₀²，
聯(lián)立以上三式，解得兩極板間偏轉(zhuǎn)電壓為：U₀=$\frac{m{l}^{2}}{q{t}_{0}^{2}}$；
（2）t₀時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子，兩極板沒(méi)有電場(chǎng)，帶電粒子沿x軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
速度大小為${V_0}=\frac{l}{t_0}$，
設(shè)帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，
則有：qvB=m$\frac{{{v_0}^2}}{R}$，聯(lián)立以上二式解得：R=$\frac{ml}{{qB{t_0}}}$；
（3）2t₀時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．
帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)沿y軸正方向的分速度為v'y=at₀，
設(shè)帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸正方向的夾角為d，
則：tanα=$\frac{v}{{v{'_y}}}$，解得：α=$\frac{π}{4}$，
帶電粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的軌跡圖如圖所示，圓弧所對(duì)的圓心角為：2α=$\frac{π}{2}$，所求最短時(shí)間為t_min=$\frac{1}{4}T$，
帶電．立以上兩式解得最短時(shí)間為：t_min=$\frac{πm}{2Bq}$，
同理，t=0進(jìn)入兩極板的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)：${t_{max}}=\frac{3}{4}T$，
所以最長(zhǎng)時(shí)間為：${t_{max}}=\frac{3πm}{2Bq}$；
答：
（1）電壓U₀的大小為$\frac{m{l}^{2}}{q{t}_{0}^{2}}$．
（2）t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為$\frac{ml}{{qB{t_0}}}$．
（3）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為$\frac{πm}{2Bq}$，最長(zhǎng)時(shí)間為$\frac{3πm}{2qB}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查到的知識(shí)點(diǎn)較多，首先是考察到了離子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，并且電場(chǎng)還是變化的，這就要求我們要有較強(qiáng)的過(guò)程分析能力，對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分段處理；還考察到了離子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，要熟練的會(huì)用半徑公式和周期公式解決問(wèn)題；在解決粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間問(wèn)題時(shí)，要注意偏轉(zhuǎn)角度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系，熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決問(wèn)題．是一道難度較大的題．