Question

7．如圖（a）所示，傾角為45°、高為h的斜面固定在水平地面上，小球從高為H（2h＞H＞h）的某處自由下落，與斜面碰撞（不計(jì)能量損失）后做平拋運(yùn)動(dòng)．
（1）若小球做平拋運(yùn)動(dòng)后能直接落到水平地面上，求自由下落的起始點(diǎn)距斜面左端的水平距離x應(yīng)滿足的條件；
（2）若測(cè)得x=1m時(shí)，小球平拋運(yùn)動(dòng)的水平射程s最大，且水平射程的平方s²與x關(guān)系如圖（b）所示，求斜面的高度h．

Answer 1

分析 小球與斜面碰撞后做平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)正好落在斜面底端時(shí)，x最小，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式結(jié)合幾何關(guān)系、動(dòng)能定理求出x的最小值，而x的最大值即為h，從而求出x的范圍；由圖可知，當(dāng)x=1m時(shí)，s最大，且s²=36m²，所以s=6m，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式及動(dòng)能定理求出s²的表達(dá)式，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求出滿足什么條件時(shí)，s最大，從而求解h．

解答 解：小球與斜面碰撞后做平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)正好落在斜面底端時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系可知，
水平位移為：x₁=h-x
豎直位移為：y=h-x
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)得：
t=$\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$
所以平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為：${v}_{0}=\frac{h-x}{t}=\frac{h-x}{\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}}$
小球從釋放到與斜面碰撞的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
mg（H+x-h）=$\frac{1}{2}{{mv}_{0}}^{2}$
解得：x=h-$\frac{4}{5}$H
當(dāng)小球正好在斜面底端釋放時(shí)，x最大，則有：x_max=h
所以若小球做平拋運(yùn)動(dòng)后能直接落到水平地面上，自由下落的起始點(diǎn)距斜面左端的水平距離x應(yīng)滿足的條件是h＞x＞h-$\frac{4}{5}$H；
（2）由圖可知，當(dāng)x=1m時(shí)，s²=36m²，所以s=6m
則水平方向：s=vt，
豎直方向：h-x=$\frac{1}{2}$gt²，
根據(jù)動(dòng)能定理得：
2g（H-h+x）=v²，
聯(lián)立解得
s²=4（H-h+x）（h-x）=-4[（h-x）²-H（h-x）+$\frac{1}{4}$H²]+H²=-4[（h-x）-$\frac{H}{2}$]²+H²．
當(dāng)（h-x）-$\frac{H}{2}$=0時(shí)，s²取最大值，s最大值為6m，
對(duì)應(yīng)的H=6m，
斜面的高h(yuǎn)=x+$\frac{H}{2}$=4m
答：（1）若小球做平拋運(yùn)動(dòng)后能直接落到水平地面上，求自由下落的起始點(diǎn)距斜面左端的水平距離x應(yīng)滿足的條件是h＞x＞h-$\frac{4}{5}$H；
（2）若測(cè)得x=1m時(shí)，小球平拋運(yùn)動(dòng)的水平射程s最大，且水平射程的平方s²與x關(guān)系如圖（b）所示，斜面的高度h為4m．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)基本公式、動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解s的最大值，難度適中．