Question

如圖所示，在xOy平面內(nèi)y>0的區(qū)域中存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，在y<0的區(qū)域也存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未畫(huà)出)，一帶正電的粒子從y軸上的P點(diǎn)垂直磁場(chǎng)入射，速度方向與y軸正向成45¡。粒子第一次進(jìn)入y<0的區(qū)域時(shí)速度方向與x軸正向成135¡，再次在y>0的區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)軌跡恰與y軸相切。已知OP的距離為，粒子的重力不計(jì)，求：
(1)y<0的區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大��；
(2)粒子第2n(n∈N^＋)次通過(guò)x軸時(shí)離O點(diǎn)的距離(本問(wèn)只需寫(xiě)出結(jié)果)。

Answer 1

(1)，；(2) (n∈N^＋)，(n∈N^＋)

(1)當(dāng)粒子通過(guò)y軸時(shí)速度方向沿y軸負(fù)方向時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖1所示。

　　設(shè)粒子第一次、第二次通過(guò)x軸上的點(diǎn)為分別為Q、M，粒子在y>0和y<0區(qū)域作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R₀和R₁，通過(guò)y軸上的點(diǎn)為N，y<0區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁
　　連接PQ，由題意知，�、�(2分)
　　又有幾何關(guān)系可得：PQ=2a②　(2分)
　　由①②式可得：R₀=a�、�(2分)
　　過(guò)M、N兩點(diǎn)分別作該點(diǎn)速度方向的垂線，兩垂線相交于O₁點(diǎn)，O₁即為粒子在y>0區(qū)域作圓周運(yùn)動(dòng)的圓心
　　由幾何關(guān)系可得：
　　粒子在y<0區(qū)域內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的弦長(zhǎng)
　　粒子在y<0區(qū)域內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑�、�(2分)
　　帶電粒子在磁場(chǎng)中作圓廚運(yùn)動(dòng)的半徑公式�、�(2分)
　　由③④⑤式可得：�、�(2分)
　　當(dāng)粒子通過(guò)y軸時(shí)速度方向沿y軸正向時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖2所示。

　　設(shè)粒子第一次、第二次通過(guò)x軸上的點(diǎn)為分別為T(mén)、S，粒子在y<0區(qū)域作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₂，y<0區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2
　　由幾何關(guān)系可以求得：⑦(2分)
　　由③④⑦式可得：�、�(2分)
　　(2)設(shè)粒子在兩種情況下，第2n次通過(guò)x軸時(shí)離O點(diǎn)的距離分別為S_I、S_Ⅱ，當(dāng)粒子通過(guò)y軸時(shí)速度方向沿y軸負(fù)向時(shí)，由幾何關(guān)系可推算出：
　　(n∈N^＋)⑨(2分)
　　當(dāng)粒子通過(guò)y軸時(shí)速度方向沿y軸正向時(shí)，由幾何關(guān)系可推算出：
　　(n∈N^＋)⑩(2分)