Question

3．如圖所示，一固定斜面的傾角θ=37°，p點(diǎn)距斜面底端A點(diǎn)的距離x=5m．BC為一段光滑圓弧軌道，DE為半圓形光滑軌道，兩圓弧軌道均固定于豎直平面內(nèi)，兩軌道的半徑均為R=2m．滑板長L=7.1m，質(zhì)量為M=1kg，靜止在光滑水平地面上，滑板上表面與斜面水平底邊的高度差H=4m，滑板右端緊靠C點(diǎn)，上表面恰能與兩圓弧相切于C點(diǎn)和D點(diǎn)，滑板左端到半圓形軌道下端D點(diǎn)的距離L'=3.3m．一物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）質(zhì)量m=1kg從斜面上的p點(diǎn)由靜止下滑，物塊離開斜面后恰在B點(diǎn)沿切線進(jìn)入BC段圓弧軌道，經(jīng)C點(diǎn)滑上滑板，滑板左端到達(dá)D點(diǎn)時(shí)立即被牢固粘連．物塊與斜面、物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：

（1）物塊滑到C點(diǎn)的速率v_C；
（2）物塊滑到C點(diǎn)時(shí)對圓弧軌道的壓力大小N；
（3）物塊最終靜止時(shí)的位置到C點(diǎn)的距離S．

Answer 1

分析 （1）滑塊從靜止滑到C點(diǎn)過程，應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出到達(dá)C點(diǎn)的速度．
（2）在C點(diǎn)，由重力和支持力的合力提供向心力，運(yùn)用牛頓第二定律求出支持力，再得到物塊對軌道的壓力．
（3）應(yīng)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)位移公式求出滑塊與滑板的位移，然后判斷兩者共速時(shí)的位置關(guān)系，再求解物塊最終靜止時(shí)的位置到C點(diǎn)的距離S．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理得：
  mg（xsinθ+H）-μmgxcosθ=$\frac{1}{2}mv_c^2$-0
解得 v_C=10m/s
（2）在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得
  N′-mg=$m\frac{v_c^2}{R}$
解得 N′=60N
由牛頓第三定律得，物塊滑到C點(diǎn)時(shí)對圓弧軌道的壓力大小N=N′=60N
（3）設(shè)物塊與滑板能達(dá)到共同速度v，即物塊未從滑板上落下來，滑板也未與D點(diǎn)相撞．
物塊：v=v_c-μgt
滑板：v=μgt
解得 t=1s，v=5m/s
物塊的位移 S₁=$\frac{{{v_c}+v}}{2}t$=7.5m
滑板的位移 S₂=$\frac{0+v}{2}t$=2.5m
因滑板的位移 S₂=2.5m＜L′=3.3m
則知滑板未到達(dá)D點(diǎn)
物塊相對于滑板的位移  S_相=S₁-S₂=5m＜L=7.1m
物塊未從滑板上落下，達(dá)到共同速度后，物塊與滑板一起勻速運(yùn)動(dòng)距離0.8m滑板到達(dá)D點(diǎn)，滑板撞停后，物塊獨(dú)自勻減速運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)．
 v_D²-v²=-2μg（L-S_相），得 v_D=2m/s
因?yàn)関_D=2m/s＜$\sqrt{2gR}$，所以物塊不會脫軌，再次回到D點(diǎn)后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)其向右減速的最大位移為S₃：
得 S₃=$\frac{v_D^2}{2μg}$=0.4m
物塊最終靜止時(shí)的位置到C點(diǎn)的距離：S=L+L′-S₃=10m
答：
（1）物塊滑到C點(diǎn)的速率v_C是10m/s．
（2）物塊滑到C點(diǎn)時(shí)對圓弧軌道的壓力大小N是60N．
（3）物塊最終靜止時(shí)的位置到C點(diǎn)的距離S是10m．

點(diǎn)評 本題是一道力學(xué)綜合題，關(guān)鍵要分析清楚物塊的運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過程的物理規(guī)律，應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律解題．