Question

20．已知下面的數(shù)據(jù)，可以求出地球質(zhì)量M的是（引力常數(shù)G是已知的）（　�。�

• A． 人造地球衛(wèi)星在地面附近的運(yùn)行速度v和運(yùn)行周期T₃
• B． 地球“同步衛(wèi)星”離地面的高度h
• C． 地球繞太陽運(yùn)行的周期T₂及地球到太陽中心的距離R₂
• D． 月球繞地球運(yùn)行的周期T₁及月球到地球表面的距離R₁

Answer 1

分析 萬有引力的應(yīng)用之一就是計算中心天體的質(zhì)量，計算原理就是萬有引力提供球繞天體圓周運(yùn)動的向心力，列式只能計算中心天體的質(zhì)量．

解答 解：A、人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動，地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{3}^{2}}R$，可得地球的質(zhì)量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{3}^{2}}$①
根據(jù)衛(wèi)星線速度的定義可知$v=\frac{2πR}{{T}_{3}^{\;}}$得$R=\frac{v{T}_{3}^{\;}}{2π}$②
②代入①得$M=\frac{{v}_{\;}^{3}{T}_{3}^{\;}}{2πG}$，故A正確；
B、地球“同步衛(wèi)星”繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期，即T=24h，根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$，可得地球質(zhì)量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，因為不知道地球半徑，故B錯誤；
C、已知地球繞太陽運(yùn)行的周${T}_{2}^{\;}$及地球到太陽中心的距離${R}_{2}^{\;}$，只能計算中心天體太陽的質(zhì)量，故C錯誤；
D、月球繞地球做圓周運(yùn)動，地球?qū)υ虑虻娜f有引力提供圓周運(yùn)動的向心力$G\frac{Mm}{（{R}_{1}^{\;}+{R}_{地}^{\;}）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}（{R}_{1}^{\;}+{R}_{地}^{\;}）$，可得地球質(zhì)量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（{R}_{1}^{\;}+{R}_{地}^{\;}）_{\;}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，因為不知道地球半徑，故D錯誤
故選：A

點評 萬有引力提供向心力，根據(jù)數(shù)據(jù)列式可求解中心天體的質(zhì)量，注意向心力的表達(dá)式需跟已知量相一致，同時注意隱形條件的挖掘，例如本題中的同步衛(wèi)星的周期．