Question

6．如圖所示，有一內表面光滑的金屬盒，底面長為L=1.2m，質量為m₁=1kg，放在水平面上，與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.2，在盒內最右端放一半徑為r=0.1m的光滑金屬球，質量為m₂=1kg，現(xiàn)在盒的左端，給盒一個初速度v=3m/s（盒壁厚度，球與盒發(fā)生碰撞的時間和能量損失均忽略不計，g取10m/s²）求：金屬盒從開始運動到最后靜止所經(jīng)歷的時間？

Answer 1

分析 球與盒發(fā)生碰撞的時間和能量損失均忽略不計，即發(fā)生了彈性碰撞，根據(jù)動量守恒和機械能守恒可求出碰后兩者的速度，由于質量相等，每碰撞一次，兩者就會交換速度，逐次分析碰撞間隙盒前進的位移，分析能發(fā)生幾次碰撞，再根據(jù)動量定理求時間．

解答 解：因r=0.1m，則當盒前進s₁=1m時與球發(fā)生碰撞，設碰前盒的速度為v₁，碰后速度為v₁′，球碰后速度為v₂，則對盒，應用動能定理：
$-F{s}_{1}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$，
解得v₁=1m/s
由于碰撞中動量守恒、機械能守恒，有：
m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂，
$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{v}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
聯(lián)立以上方程得：v₁′=0，v₂=1m/s．
當球前進1m時與盒發(fā)生第二次碰撞，碰撞前球的速度為1m/s，盒子的速度為0，碰撞后球的速度為0，盒子的速度變?yōu)関₂=1m/s，
以金屬盒為研究對象，利用動能定理得：
-Fs₂=0-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{2}^{2}$，解得：s₂=0.125m．
所以不會再與球碰，
則盒子運動時間可由動量定理給出：設盒子前進s₁=1m所用時間為t₁，前進s₂=0.125m所用時間為t₂，則：
-Ft₁=m₁v₁-m₁v，
-Ft₂=0-m₁v₂，且v₁=v₂=1m/s
代入數(shù)據(jù)得：t₁=0.5s，t₂=0.25s
在盒兩次運動之間還有一段時間t₃為小球在運動，t₃=$\frac{{s}_{1}}{{v}_{2}}$=1s
則金屬盒從開始運動到最后靜止所經(jīng)歷的時間t=t₁+t₂+t₃=1.75s
答：金屬盒從開始運動到最后靜止所經(jīng)歷的時間為1.75s．

點評 解答本題要知道碰撞過程中動量、機械能守恒，且m₁=m₂，則碰撞時交換速度，且金屬盒的初動能全部轉化為內能，難度較大