Question

為了研究過山車的原理，某興趣小組提出了下列設(shè)想：取一個與水平方向夾角為37°、長為l=2.0m的粗糙傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除AB段以外都是光滑的。其AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示。一個小物塊以初速度v₀＝4.0m/s從某一高處水平拋出，到A點(diǎn)時速度方向恰好沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下。已知物塊與傾斜軌道的動摩擦因數(shù)μ=0.50。（g＝10m/s²、sin37°＝0.60、cos37°＝0.80）
（1）求小物塊到達(dá)A點(diǎn)時速度。
（2）要使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件？
（3）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則豎直圓軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

解：（1）小物塊做平拋運(yùn)動，經(jīng)時間t到達(dá)A處時，令下落的高度為h，水平分速度v₀，豎直速度為v_y，小物塊恰好沿斜面AB方向滑下，則tan37°=v_y/v₀
得v_y=3 m/s，所以小物塊到A點(diǎn)的速度為5m/s
（2）物體落在斜面上后，受到斜面的摩擦力F_f=μF_N=μmgcos37°
設(shè)物塊進(jìn)入圓軌道到達(dá)最高點(diǎn)時有最小速度v₁，此時物塊受到的重力恰好提供向心力，令此時的半徑為 R₀，則mg=mv₁²/R₀
物塊從拋出到圓軌道最高點(diǎn)的過程中，根據(jù)動能定理有：
mg(h+lsin37°－2R₀)－μmgcos37°·l = mv₁²/2－mv₀²/2
聯(lián)立上式，解得R₀=0.66m
若物塊從水平軌道DE滑出，圓弧軌道的半徑滿足R₁≤0.66m
（3）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則物塊上升的高度須小于或于某個值R，則mg(h+lsin37°)／μmgcos37°·l－mgR=0－mv₀²/2
解得R=1.65m
物塊能夠滑回傾斜軌道AB，則R₂≥1.65m