Question

8．如圖所示，地球半徑為R，O為球心，A為地球表面上的點，B為0、A連線間的中點．設想在地球內部挖掉一以B為圓心，半徑為$\frac{R}{4}$的球，忽略地球自轉影響，將地球視為質量分布均勻的球體．則挖出球體后A點的重力加速度與挖去球體前的重力加速度之比為（　�。�

• A． $\frac{15}{16}$
• B． $\frac{31}{32}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 挖去以B為圓心，半徑為$\frac{R}{4}$的球前，地球表面的重力等于萬有引力大小，挖去后，表面物體的重力等于原來地球對物體的引力與半徑為$\frac{R}{4}$的球對物體的引力之差，結合質量和密度的關系求出挖出球體后A點的重力加速度與挖去球體前的重力加速度之比．

解答 解：挖前，質量為m的物體在A點受到的重力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
挖去后質量為M′的球體后在A點受到的重力$mg′=G\frac{Mm}{{R}^{2}}-G\frac{M′m}{（\frac{R}{2}）^{2}}$，
$M=ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，$M′=ρ\frac{4}{3}π（\frac{R}{4}）^{3}$，
聯立各式解得$\frac{g′}{g}=\frac{15}{16}$．
故選：A．

點評 解決本題的關鍵知道挖去球后，地球表面物體的重力等于原來未挖去前所受的引力減去挖去部分對物體引力之差，這是解決本題的關鍵突破口．