Question

20．“北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)”是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，該系統(tǒng)已成功應(yīng)用于測(cè)繪、電信、水利、漁業(yè)、交通運(yùn)輸、森林防火、減災(zāi)救災(zāi)和公共安全等諸多領(lǐng)域，產(chǎn)生了顯著的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益．“北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)”空間段由5顆靜止軌道衛(wèi)星和30顆非靜止軌道衛(wèi)星組成，示意圖如圖所示．
圖中A、B軌道均可視為圓軌道，其半徑分別約為4.2×10⁴km和2.8×10⁴km．求：
（1）在A、B軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星向心加速度之比$\frac{a_A}{a_B}$；
（2）在A、B軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星周期之比$\frac{T_A}{T_B}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，得出加速度與軌道半徑的關(guān)系，從而求出向心加速度之比．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，得出周期與軌道半徑的關(guān)系，從而得出周期之比．

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，在A、B軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星質(zhì)量分別為m_A和m_B．根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律$G\frac{{M{m_A}}}{R_A^2}={m_A}{a_A}$
$G\frac{{M{m_B}}}{R_B^2}={m_B}{a_B}$
解得$\frac{a_A}{a_B}=\frac{R_B^2}{R_A^2}=\frac{4}{9}$
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律$G\frac{{M{m_A}}}{R_A^2}={m_A}{（\frac{2π}{T_A}）^2}{R_A}$
$G\frac{{M{m_B}}}{R_B^2}={m_B}{（\frac{2π}{T_B}）^2}{R_B}$
解得$\frac{T_A}{T_B}={（{\frac{R_A}{R_B}}）^{\frac{3}{2}}}=\sqrt{\frac{27}{8}}$．
答：（1）在A、B軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星向心加速度之比為4：9．
（2）在A、B軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星周期之比為$\sqrt{\frac{27}{8}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運(yùn)用，知道周期、線速度、角速度、向心加速度與軌道半徑的關(guān)系．