Question

20．圖為某游樂(lè)場(chǎng)內(nèi)水上滑梯軌道示意圖，整個(gè)軌道在同一豎直平面內(nèi)，表面粗糙的AB段軌道與四分之一光滑圓弧軌道BC在B點(diǎn)水平相切．圓弧軌道BC的半徑為R，點(diǎn)A距水面的高度為H=4R，圓心O恰在水面．一質(zhì)量為m的游客（視為質(zhì)點(diǎn)）可從軌道AB的任意位置滑下，不計(jì)空氣阻力．
（1）若游客從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始滑下，到B點(diǎn)時(shí)沿切線方向滑離軌道落在水面上的D點(diǎn)，OD=3R，求游客滑到B點(diǎn)時(shí)的速度v_B大小及運(yùn)動(dòng)過(guò)程克服軌道摩擦力所做的功W_f；
（2）若游客從AB段某處滑下，恰好停在B點(diǎn)，又因受到微小擾動(dòng)，繼續(xù)沿圓弧軌道滑到P點(diǎn)后滑離軌道，求P點(diǎn)離水面的高度h．（提示：在圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任一點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受的向心力與其速率的關(guān)系為F_向=m$\frac{{v}^{2}}{R}$）

Answer 1

分析 （1）游客從B點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解，即可求出游客到達(dá)B的速度，A到B的過(guò)程中由動(dòng)能定理即可求出運(yùn)動(dòng)過(guò)程軌道摩擦力對(duì)其所做的功W_f；
（2）設(shè)OP與OB最近的夾角是θ，在P點(diǎn)離開(kāi)軌道時(shí)，軌道對(duì)游客的支持力是0，由重力指向圓心的分力提供向心力，結(jié)合機(jī)械能守恒與向心力的表達(dá)式即可求解．

解答 解：（1）游客從B到D做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向上：3R=v_Bt       ①
豎直方向上：R=$\frac{1}{2}$gt²      ②
由①②解得：v_B=$\sqrt{\frac{9}{2}gR}$
從A到B由動(dòng)能定理得：mg（H-R）-W_f=$\frac{1}{2}$mv_B²      ③
解得：W_f=$\frac{3}{4}$mgR
（2）設(shè)OP與OB間夾角為θ，從B到P由動(dòng)能定理得：mg（R-Rcosθ）=$\frac{1}{2}$mv_P² ④
P點(diǎn)時(shí)由向心力公式得：mgcosθ-N=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$               ⑤
P點(diǎn)時(shí)離開(kāi)軌道，則有N=0  ⑥且有  cosθ=$\frac{h}{R}$  ⑦
由④⑤⑥⑦解得：h=$\frac{2R}{3}$
答：（1）游客滑到的速度v_B大小是$\sqrt{\frac{9}{2}gR}$，運(yùn)動(dòng)過(guò)程軌道摩擦力對(duì)其所做的功是$\frac{3}{4}$mgR；
（2）P點(diǎn)離水面的高度是$\frac{2R}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 該題中正確判斷出游客在P點(diǎn)離開(kāi)軌道時(shí)，軌道對(duì)游客的支持力是0，由重力指向圓心的分力提供向心力是解題的關(guān)鍵．