Question

15．如圖所示，小物塊A、B放置光滑水平面上，A的質量為2m，B的質量為m，A與B之間具有下列相互作用特性：當它們間的距離x_AB≤x₀時，始終存在一個恒定的引力F₀；當x_AB＞x₀時，相互作用力為零．
（1）若A、B由相距x₀處靜止釋放，則經過多少時間他們相遇？
（2）若對A施加一水平向右的拉力F₁，A、B以相同的加速度向右運動，試求拉力F₁的大��；
（3）若t₀=0時刻，A、B相距$\frac{{x}_{0}}{2}$，對A施加一水平向右的拉力F（F＞3F₀），使A、B由靜止開始運動，求t時刻B的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律分別求出AB的加速度，再由位移關系求相遇時間；
（2）對AB由牛頓第二定律求出加速度，根據題意加速度相同，即可得出${F}_{1}^{\;}$的大��；
（3）求出AB的加速度，AB加速度不同，A的加速度大于B的加速度，求出AB間距離增大到${x}_{0}^{\;}$的時間，分段求出B的速度；

解答 解：（1）根據題意，當它們間的距離x_AB≤x₀時，始終存在一個恒定的引力${F}_{0}^{\;}$
對物體A：${a}_{A}^{\;}=\frac{{F}_{0}^{\;}}{2m}$         對物體B：${a}_{B}^{\;}=\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}$
${x}_{A}^{\;}+{x}_{B}^{\;}={x}_{0}^{\;}$
$\frac{1}{2}{a}_{A}^{\;}{t}_{\;}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{B}^{\;}{t}_{\;}^{2}={x}_{0}^{\;}$
代入解得：$t=2\sqrt{\frac{m{v}_{0}^{\;}}{3{F}_{0}^{\;}}}$
（2）對物體A，有${F}_{1}^{\;}-{F}_{0}^{\;}=2m{a}_{A}^{\;}$①
對物體B，有${F}_{0}^{\;}=m{a}_{B}^{\;}$②
根據題意，加速度相等${a}_{A}^{\;}={a}_{B}^{\;}$③
聯立解得：${F}_{1}^{\;}=3{F}_{0}^{\;}$
（3）根據題意，對A施加一水平向右的拉力F，且$F＞3{F}_{0}^{\;}$
由（2）知，則A的加速度大于B的加速度
設經過時間${t}_{0}^{\;}$，AB之間的距離增大到${x}_{0}^{\;}$
對A，根據牛頓第二定律$F-{F}_{0}^{\;}=2m{a}_{A}^{\;}$
對B，根據牛頓第二定律${F}_{0}^{\;}=m{a}_{B}^{\;}$
${x}_{A}^{\;}-{x}_{B}^{\;}=\frac{{x}_{0}^{\;}}{2}$
$\frac{1}{2}\frac{F-{F}_{0}^{\;}}{2m}{t}_{0}^{2}-\frac{1}{2}\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}{t}_{0}^{2}=\frac{{x}_{0}^{\;}}{2}$
解得：${t}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{2m{x}_{0}^{\;}}{F-3{F}_{0}^{\;}}}$
當$0＜t≤\sqrt{\frac{2m{x}_{0}^{\;}}{F-3{F}_{0}^{\;}}}$時，${v}_{B}^{\;}={a}_{B}^{\;}t=\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}t$
當$t＞\sqrt{\frac{2m{x}_{0}^{\;}}{F-3{F}_{0}^{\;}}}$時，${v}_{B}^{\;}={a}_{B}^{\;}{t}_{0}^{\;}=\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}\sqrt{\frac{2m{x}_{0}^{\;}}{F-3{F}_{0}^{\;}}}$
答：（1）若A、B由相距x₀處靜止釋放，則經過時間$2\sqrt{\frac{m{x}_{0}^{\;}}{3{F}_{0}^{\;}}}$他們相遇
（2）若對A施加一水平向右的拉力F₁，A、B以相同的加速度向右運動，拉力F₁的大小為$3{F}_{0}^{\;}$；
（3）若t₀=0時刻，A、B相距$\frac{{x}_{0}}{2}$，對A施加一水平向右的拉力F（F＞3F₀），使A、B由靜止開始運動，t時刻B的速度
當$0＜t≤\sqrt{\frac{2m{x}_{0}^{\;}}{F-3{F}_{0}^{\;}}}$時，${v}_{B}^{\;}=\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}t$
當$t＞\sqrt{\frac{2m{x}_{0}^{\;}}{F-3{F}_{0}^{\;}}}$時，${v}_{B}^{\;}=\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}\sqrt{\frac{2m{x}_{0}^{\;}}{F-3{F}_{0}^{\;}}}$

點評 本題考查牛頓運動定律和運動學公式的應用，關鍵是注意分析受力情況，結合位移關系列式，注意距離大于${x}_{0}^{\;}$兩球之間無作用力．