Question

18．如圖所示，有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=1kg的小物塊，從光滑平臺(tái)上的A點(diǎn)以v₀=1m/s的初速度水平拋出，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，恰好沿C點(diǎn)的切線方向進(jìn)入固定在水平地面上的光滑圓弧軌道，最后小物塊滑上緊靠軌道末端D點(diǎn)的質(zhì)量為M=0.5kg的長(zhǎng)木板，已知木板上表面與圓弧軌道末端切線向平，木板下表面與水平地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.1，小物塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.6，圓弧軌道的半徑為R=0.5m，C點(diǎn)和圓弧的圓心連線與豎直方向的夾角θ=60°，不計(jì)空氣阻力，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）A、C兩點(diǎn)的高度差；
（2）小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）要使小物塊不滑出長(zhǎng)木板，木板的最小長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）小球從A點(diǎn)拋出做平拋運(yùn)動(dòng)，將C點(diǎn)的速度進(jìn)行分解，求出豎直分速度的大小，從而根據(jù)豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出AC兩點(diǎn)的高度差．
（2）求出C點(diǎn)的速度，對(duì)C到D運(yùn)用動(dòng)能定理求出到達(dá)D點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊對(duì)軌道的壓力．
（3）當(dāng)小物塊剛好不從長(zhǎng)木板滑出時(shí)，與木板具有相同的速度，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出共同的速度，分別求出物塊和木板的位移，兩者之差等于木板的最小長(zhǎng)度．

解答 解：（1）小物塊在C點(diǎn)速度大小為：v_C=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=2 m/s，
豎直分量：v_Cy=v_Csinθ=$\sqrt{3}$ m/s 
下落高度：h=$\frac{{v}_{Cy}^{2}}{2g}$=0.15m  
（2）小物塊由C到D的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_C²；
代入數(shù)據(jù)解得：v_D=3m/s
小球在D點(diǎn)時(shí)由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=28N  
由牛頓第三定律得F_N′=F_N=28N，方向豎直向下
（3）設(shè)小物塊剛滑到木板左端達(dá)到共同速度，大小為v，小物塊在木板上滑行的過(guò)程中，小物塊與長(zhǎng)木板的加速度大小分別為：
a₁=μ₂g=3 m/s²，
a₂=$\frac{{μ}_{2}mg-{μ}_{1}（M+m）g}{M}$=9 m/s²
速度分別為：v=v_D-a₁t，v=a₂t  
解得：t=$\frac{1}{5}$s
v=$\frac{9}{5}$m/s
物塊的位移為：x₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t$=$\frac{12}{25}$m
木板的位移為：x₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$\frac{9}{50}$m
則L≥x₁-x₂=0.3m，即木板的長(zhǎng)度至少是0.3m．
答：（1）AC兩點(diǎn)的高度差為0.15m．
（2）小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為28N．
（3）木板的最小長(zhǎng)度為0.3m．

點(diǎn)評(píng) 本題要理清物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，抓住物塊與木板的速度相等列式是關(guān)鍵，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．也可以根據(jù)動(dòng)能定理和系統(tǒng)的能量守恒求解．