Question

1．如圖所示，一輕繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，下端拴著質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），當(dāng)球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩與豎直方向間的夾角為θ，已知重力加速度為g，求：
（1）繩的拉力大小F；
（2）小球運(yùn)動(dòng)的線速度v的大小；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的角速度ω及周期T．

Answer 1

分析 （1）小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小球所受的重力和拉力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)力的合成求解繩的拉力大小；
（2）根據(jù)mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，求出小球的線速度；
（3）根據(jù)線速度與角速度、周期的關(guān)系求出角速度和周期．

解答 解：（1）以球?yàn)檠芯繉?duì)象，受力分析如圖所示，由平衡條件Fcosθ=mg，
得：F=$\frac{mg}{cosθ}$．
（2）由牛頓第二定律：mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
其中r=Lsinθ，
得：v=$\sqrt{gLtanθsinθ}$，
（3）角速度為：$ω=\frac{v}{r}$=$\sqrt{\frac{v}{Lcosθ}}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{gLtanθsinθ}}{Lcosθ}}$，
周期為：T=$\frac{2π}{ω}$=2π$\sqrt{\frac{Lcosθ}{\sqrt{gLtanθsinθ}}}$．
答：（1）繩的拉力大小F為$\frac{mg}{cosθ}$；
（2）小球運(yùn)動(dòng)的線速度v的大小為$\sqrt{gLtanθsinθ}$；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的角速度ω為$\sqrt{\frac{\sqrt{gLtanθsinθ}}{Lcosθ}}$，周期為2π$\sqrt{\frac{Lcosθ}{\sqrt{gLtanθsinθ}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球所受的重力和拉力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．小球在豎直方向上平衡，即拉力在豎直方向的分力等于重力．