Question

【題目】如圖所示，半徑R＝1.0m的光滑圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道的一個(gè)端點(diǎn)B和圓心O的連線與水平方向間的夾角θ＝37°，另一端點(diǎn)C為軌道的最低點(diǎn)．C點(diǎn)右側(cè)的水平路面上緊挨C點(diǎn)放置一木板，木板質(zhì)量M＝1kg，上表面與C點(diǎn)等高．質(zhì)量m＝1kg的物塊 （可視為質(zhì)點(diǎn)）從空中A點(diǎn)以v0＝1.2m/s的速度水平拋出，恰好從軌道的B端沿切線方向進(jìn)入軌道．已知物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1＝0.2，木板與路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2＝0.05，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10m/s2，設(shè)木板受到的最大靜摩擦力跟滑動(dòng)摩擦力相等．試求：

(1)物塊經(jīng)過軌道上的B點(diǎn)時(shí)的速度大小；

(2)物塊經(jīng)過軌道上的C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；

(3)木板至少多長才能使物塊不從木板上滑下？

(4)若木板足夠長，請(qǐng)問從開始平拋至最終木板、物塊都靜止，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，物塊與木板間產(chǎn)生的內(nèi)能為多少？木板與地面間產(chǎn)生的內(nèi)能為多少？共產(chǎn)生的內(nèi)能為多少？

Answer 1

【答案】(1)2m/s (2)46N (3)6m (4)物塊與木板產(chǎn)生的內(nèi)能為12J，木板與地面產(chǎn)生的內(nèi)能為6J，共產(chǎn)生的內(nèi)能為18J

【解析】

(1)物塊從到做平拋運(yùn)動(dòng)，由速度分解即可求得經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的速度大��；

(2)根據(jù)動(dòng)能定理可求得點(diǎn)的速度，由向心力公式可求得物塊在點(diǎn)受到的支持力，由牛頓第三定律可求得對(duì)軌道的壓力；

(3)由牛頓第二定律可求得物塊和木板的加速度，要使物塊不掉下去，兩物體最后應(yīng)達(dá)到相同速度并且物塊剛好到達(dá)木板的最右端，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得木板的長度。

(4)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出物塊和木板對(duì)地的位移，根據(jù)相對(duì)位移求物塊與木板間產(chǎn)生的內(nèi)能。根據(jù)木板對(duì)地的位移求木板與地面間產(chǎn)生的內(nèi)能。

(1)根據(jù)末速度和豎直方向的夾角為，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解知：

(2)從到應(yīng)用動(dòng)能定理

解得

在點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律：

解得：

由牛頓第三定律可知物塊經(jīng)過圓軌道上的點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為；

(3)物快在木板上滑動(dòng)時(shí)，設(shè)物塊和木板的加速度大小分別為、，根據(jù)牛頓第二定律，

對(duì)物塊有：

對(duì)木板有：

聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：，；

設(shè)物快和木板經(jīng)過時(shí)間達(dá)到共同速度，其位移分別為、，則：

對(duì)物塊：

對(duì)木板：

聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：，

設(shè)木板長度至少為

時(shí)間內(nèi)物塊的位移：

時(shí)間內(nèi)木板的位移：

由題意得：

即木板長度至少才能使物塊不從木板上滑下

(4) 設(shè)物塊與木板速度相同一起滑行的距離為．則它們共同的加速度大小為：

所以，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，物塊與木板間產(chǎn)生的內(nèi)能為：

木板與地面間產(chǎn)生的內(nèi)能為：

共產(chǎn)生的內(nèi)能為：