Question

18．我國(guó)探月工程總體計(jì)劃分為“繞、落、回”三個(gè)步驟，“前兩步”繞月探測(cè)和月面軟著陸巡視勘察任務(wù)已實(shí)施，2017年前后將進(jìn)行“第三步”，主要任務(wù)就是嫦娥五號(hào)探測(cè)器自動(dòng)完成月面樣品采集，并從月球起飛，返回地球，帶回月球樣品．若嫦娥五號(hào)探測(cè)器所帶樣品，在月球表面上測(cè)得重力為F₁，返回地球，在地球表面上測(cè)得重力為F₂．已知月球半徑為R，引力常量為G，地球表面的重力加速度大小為g₀．忽略地球、月球自轉(zhuǎn)的影響，求：
（1）月球的質(zhì)量；
（2）月球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）先求出月球表面的重力加速度，再根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力求出月球質(zhì)量
（2）根據(jù)重力提供向心力求出第一宇宙速度

解答 解：（1）設(shè)探測(cè)器的質(zhì)量為m，在月球表面：$m{g}_{月}^{\;}={F}_{1}^{\;}$①
在地球表面：$m{g}_{0}^{\;}={F}_{2}^{\;}②$
聯(lián)立①②得${g}_{月}^{\;}=\frac{{F}_{1}^{\;}}{{F}_{2}^{\;}}{g}_{0}^{\;}$
設(shè)月球質(zhì)量為${M}_{月}^{\;}$，根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力$m{g}_{月}^{\;}=G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：${M}_{月}^{\;}=\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{{F}_{1}^{\;}{R}_{\;}^{2}{g}_{0}^{\;}}{{F}_{2}^{\;}G}$
（2）根據(jù)月球表面重力提供向心力，有$m{g}_{月}^{\;}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{{g}_{月}^{\;}R}=\sqrt{\frac{{F}_{1}^{\;}{g}_{0}^{\;}}{{F}_{2}^{\;}}R}$
答：（1）月球的質(zhì)量為$\frac{{F}_{1}^{\;}{R}_{\;}^{2}{g}_{0}^{\;}}{{F}_{2}^{\;}G}$；
（2）月球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{{F}_{1}^{\;}{g}_{0}^{\;}}{{F}_{2}^{\;}}R}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力提供向心力，2、萬(wàn)有引力等于重力，并能靈活運(yùn)用．