Question

如圖所示，光滑水平面上有一質(zhì)量為M、長(zhǎng)為L(zhǎng)的長(zhǎng)木板，其上有一質(zhì)量為m的物塊，它與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，開始時(shí)長(zhǎng)木板與小物塊均靠在與水平面垂直的左邊固定擋板處以共同的速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)長(zhǎng)木板與右邊固定豎直擋板碰撞后立即以大小相同的速率反向運(yùn)動(dòng)，且左右擋板之間的距離足夠長(zhǎng)．

（1）若m＜M，試求要使物塊不從長(zhǎng)木板上落下，長(zhǎng)木板的最短長(zhǎng)度；
（2）若物塊不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下，且M=2m，假設(shè)長(zhǎng)木板與擋板第一次碰撞結(jié)束到第二次碰撞過程中整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能為△E，現(xiàn)已知長(zhǎng)木板與檔板某次碰撞結(jié)束到下一次碰撞時(shí)系統(tǒng)損失的機(jī)械能為△E的1/729，請(qǐng)問這部分能量的損失發(fā)生在哪兩次碰撞之間（無(wú)推導(dǎo)過程不給分）．

Answer 1

分析：（1）由于小物塊與長(zhǎng)木板存在摩擦力，系統(tǒng)的機(jī)械能不斷減少，所以小物塊第一次與擋板碰撞后兩者相對(duì)速度最大，第1次小物塊若不能從長(zhǎng)木板上掉下，往后每次相對(duì)滑動(dòng)的距離會(huì)越來(lái)越小，更不可能掉下．第一次碰撞后，物塊恰好不從木板上掉下時(shí)，兩者速度相同，而且物塊恰好滑到木板的另一端，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出第一次碰撞后兩者的共同速度，由能量守恒定律求出長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度L最小值．
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出1、2、3次碰撞后物塊與木板的共同速度，尋找規(guī)律，即可求解．

解答：解：（1）長(zhǎng)木板與右邊擋板第一次碰撞后，物塊在長(zhǎng)木板上以速度v₀作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因左右擋板之間的距離足夠長(zhǎng)，當(dāng)木塊與長(zhǎng)木板以共同速度v₁向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊在長(zhǎng)木板上移動(dòng)的距離最遠(yuǎn)（設(shè)為L(zhǎng)），此時(shí)物塊在長(zhǎng)木板上不掉下，則在以后的運(yùn)動(dòng)中物塊也不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下．因?yàn)槊看闻鲎埠笪飰K相對(duì)長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)的加速度相同，物塊相對(duì)長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)的末速度也相同且為0，而第一次碰撞后物塊相對(duì)長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)的初速度最大，所以第一次碰撞后物塊相對(duì)長(zhǎng)木板的位移也最大．
由動(dòng)量守恒和能量守恒可得：
（M-m）v₀=（M+m）v₁①

1

2

（M+m）v₀²-

1

2

（M+m）v₁²=μmgL②
由①②兩式可得：L=2Mv₀²

1

μ(M+m)g

即要使物塊不從長(zhǎng)木板上掉下，長(zhǎng)木板的最短長(zhǎng)度應(yīng)為：L=2Mv₀²

1

μ(M+m)g

（2）長(zhǎng)木板與擋板第一次碰撞后到第二次碰撞前系統(tǒng)所損失的機(jī)械能為△E，則由能量守恒可得：
△E=

1

2

（M+m）v₀²-

1

2

（M+m）v₁²③
由①③式可得：△E=2Mmv₀²

1

M+m

=

4 mv 2 0

3

④
長(zhǎng)木板與擋板第二次碰撞后到物塊與長(zhǎng)木板第二次以共同速度v₂向右運(yùn)動(dòng)，直到長(zhǎng)木板與擋板第3次碰撞前，系統(tǒng)所損失的機(jī)械能為△E₂，由動(dòng)量守恒和能量守恒可得：
（M-m）v₁=（M+m）v₂⑤
△E₂=

1

2

（M+m）v₁²-

1

2

（M+m）v₂²⑥
由⑤⑥二式可得：△E₂=2Mmv₁²

1

M+m

=

2Mm (M+m) v

2 0

(

M-m

M+m

)=

4 mv 2 0

9

⑦
長(zhǎng)木板與板第n次碰撞前后達(dá)到的共同速度為，由等比數(shù)列公式可得：
v′n=(

1

3

)n-1v0
vn=(

1

3

)nv0
則：△E_n=

1

2

（M+m）v_n²-

1

2

（M+m）v′²_n=

3

2

mv

2 0

×(

1

9n

-

1

9n-1

)
長(zhǎng)木板與檔板某次碰撞結(jié)束到下一次碰撞時(shí)系統(tǒng)損失的機(jī)械能為△E的

1

729

解得n=3，碰撞發(fā)生在第3次與第4次之間
答：（1）長(zhǎng)木板的最短長(zhǎng)度

2 Mv 2 0

μ(M+m)g

（2）碰撞發(fā)生在第3次與第4次之間．

點(diǎn)評(píng)：本題采用數(shù)學(xué)歸納法研究多次碰撞過程遵守的規(guī)律，考查分析和處理復(fù)雜運(yùn)動(dòng)過程的能力．