Question

12．如圖所示，豎直放置的半圓形絕緣軌道半徑為R，下端與光滑絕緣水平面平滑連接，整個(gè)裝置處于方向豎直向上的勻強(qiáng)電場中，場強(qiáng)為E，一質(zhì)量為m、帶電量為+q的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），從水平面上的A點(diǎn)以初速度v₀水平向左運(yùn)動(dòng)，沿半圓形軌道恰好能通過最高點(diǎn)C，已知場強(qiáng)大小E＜$\frac{mg}{q}$，不計(jì)空氣阻力，則
（1）物塊在運(yùn)動(dòng)過程中摩擦力做的功是多少？
（2）證明物塊離開C點(diǎn)落回到水平面的水平射程與場強(qiáng)大小E和質(zhì)量m均無關(guān)．

Answer 1

分析 （1）物塊恰能通過圓弧最高點(diǎn)C，由重和電場力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出物塊通過最高點(diǎn)C時(shí)的速度；物塊在運(yùn)動(dòng)過程中，重力做負(fù)功，電場力做正功，摩擦力做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理求解克服摩擦力做的功；
（2）物塊離開半圓形軌道后做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可證明．

解答 解：（1）物塊恰能通過圓弧最高點(diǎn)C，圓弧軌道此時(shí)與物塊間無彈力作用，物塊受到的重力和電場力提供向心力，則有：
mg-Eq=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$…①
解得：v_C=$\sqrt{R（g-\frac{qE}{m}）}$…②
物塊在由A運(yùn)動(dòng)到C的過程中，設(shè)物塊克服摩擦力做的功W_f，根據(jù)動(dòng)能定理有：Eq•2R-W_f-mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…③
解得：W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+$\frac{5}{2}$（Eq-mg）R…④
（2）物塊離開半圓形軌道后做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)水平位移為s，則有：
 s=v_Ct…⑤
 2R=$\frac{1}{2}$（g-$\frac{qE}{m}$）t²…⑥
由⑤⑥聯(lián)立解得：
s=2R…⑦
因此，物塊離開軌道落回水平面的水平距離與場強(qiáng)大小E無關(guān)，大小為2R．
答：（1）物塊在運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功是$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+$\frac{5}{2}$（Eq-mg）R．
（2）證明見上．

點(diǎn)評(píng) 本題是向心力與動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)等等知識(shí)的綜合，關(guān)鍵要抓住物塊恰能通過最高點(diǎn)C的臨界條件，求出臨界速度．