Question

【題目】如圖，光滑水平桌面上有一個(gè)矩形區(qū)域 abcd，bc長(zhǎng)度為2L，cd長(zhǎng)度為1.5L，e、f分別為ad、bc的中點(diǎn)。efcd區(qū)域存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，質(zhì)量為m、電荷量為+q的絕緣小球A靜止在磁場(chǎng)中f點(diǎn)。abfe區(qū)域存在沿bf方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為，質(zhì)量為km的不帶電絕緣小球P，以大小為的初速度沿bf方向運(yùn)動(dòng)。P與A發(fā)生彈性碰撞，A的電量保持不變，P、A均可視為質(zhì)點(diǎn)。

(1)試求碰后A在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑

(2)若k＝1，試分析A從ed邊何處離開磁場(chǎng):

(3)若A從ed邊中點(diǎn)離開磁場(chǎng)，求k的可能值和A在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；

【解析】

（1）P初速度，設(shè)P、A碰后的速度分別為和，

由動(dòng)量守恒定律：

由機(jī)械能守恒定律：

可得：

設(shè)A在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為R，由牛頓第二定律：

可得

（2）當(dāng)k=1時(shí)，R=L

如圖1，易得離開磁場(chǎng)的點(diǎn)離e點(diǎn)距離

（3）令z點(diǎn)為ed邊的中點(diǎn)，分類討論如下：

（�。�A球在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)一次從z點(diǎn)就離開磁場(chǎng)，如圖2有

解得：

由

可得：

（ⅱ）由圖可知A球能從z點(diǎn)離開磁場(chǎng)要滿足，則A球在磁場(chǎng)中還可能經(jīng)歷一次半圓運(yùn)動(dòng)后回到電場(chǎng)，再被電場(chǎng)加速后又進(jìn)入磁場(chǎng)，最終從z點(diǎn)離開。電場(chǎng)強(qiáng)度；如圖3和如圖4，由幾何關(guān)系有：

解得：或

可得：或

當(dāng)時(shí)，，由于舍去

當(dāng)時(shí)，，由于

此類情形取符合題意要求，即

綜合（ⅰ）、（ⅱ）可得A球能從z點(diǎn)離開的k的可能值為：或

A球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期為

當(dāng)時(shí)，如圖4，A球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間