Question

14．如圖所示，一端封閉的兩條平行光滑導(dǎo)軌相距L，距左端L處的中間連有一段傾角為θ的光滑傾斜導(dǎo)軌，其下端用一光滑小圓弧與右端的水平導(dǎo)軌相接，導(dǎo)軌左右兩段處于高度相差H的水平面上．斜面導(dǎo)軌所在區(qū)域無磁場，右段水平區(qū)域存在恒定的、豎直向下的勻強磁場B₂，其磁感應(yīng)強度B₂待求．左段水平區(qū)域存在均勻分布但隨時間線性變化的、豎直向上的勻強磁場B₁，其磁感應(yīng)強度隨時間變化的規(guī)律為B₁=B₀+kt，式中B₀和k都是已知常數(shù)．在斜面軌道頂端，放置一質(zhì)量為m的金屬棒ab，與導(dǎo)軌左段形成閉合回路．設(shè)金屬棒在回路中的電阻為R，導(dǎo)軌電阻不計，重力加速度為g．
（1）問金屬棒在傾斜面軌道上滑動時，回路中感應(yīng)電流的大小和方向是否發(fā)生改變？為什么？
（2）求金屬棒在傾斜軌道上滑動的時間內(nèi)，回路中感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱量；
（3）若在金屬棒滑到傾斜軌道底端進入勻強磁場B₂后剛好做勻速運動，求磁場的磁感應(yīng)強度B₂的大小．

Answer 1

分析 （1）由圖看出，左段區(qū)域中磁感應(yīng)強度隨時間線性變化，其變化率一定，由法拉第電磁感應(yīng)定律得知，回路中磁通量的變化率相同，回路中產(chǎn)生恒定的電流．
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律求出回路中感應(yīng)電動勢，根據(jù)歐姆定律和焦耳定律結(jié)合求解焦耳熱．
（3）金屬棒在傾斜軌道上下滑的過程中機械能守恒，由此求出金屬棒進入磁場B₂的速度．金屬棒滑到傾斜軌道底端進入勻強磁場B₂后剛好做勻速運動，回路中的感應(yīng)電動勢為零．即回路中的磁通量不變，據(jù)此列式求解．

解答 解：（1）感應(yīng)電流的大小和方向均不發(fā)生改變．因為金屬棒滑到導(dǎo)軌上的任意位置時，回路中的磁通量的變化率相同．
（2）金屬棒在斜面導(dǎo)軌上滑行的加速度為：a=g•sinθ
而斜面的長度為　$\frac{H}{sinθ}$=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$        
解得：t=$\sqrt{\frac{2H}{gsi{n}^{2}θ}}$
設(shè)金屬棒在斜面導(dǎo)軌上滑行時回路中感應(yīng)電動勢大小為E₀，感應(yīng)電流為I，感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱為Q，
由法拉第電磁感應(yīng)定律得　E₀=$\frac{△Φ}{△t}$=kL²；
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得　I=$\frac{{E}_{0}}{R}$
由焦耳定律得：Q=I²Rt=$\frac{{k}^{2}{L}^{4}}{Rsinθ}$$\sqrt{\frac{2H}{g}}$
（3）設(shè)金屬棒進入磁場B₂瞬間的速度為υ，金屬棒在傾斜軌道上下滑的過程中機械能守恒，
有 mgH=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
因為金屬棒滑到傾斜軌道底端進入勻強磁場B₂后剛好做勻速運動，所以回路中的感應(yīng)電動勢為零．即回路中的磁通量不變．所以有
△Φ=B₂Lv△t-kL²•△t=0　　
解得：B₂=$\frac{kL}{\sqrt{2gH}}$
答：
（1）金屬棒在傾斜面軌道上滑動時，回路中感應(yīng)電流的大小和方向均不發(fā)生改變．因為金屬棒滑到導(dǎo)軌上的任意位置時，回路中的磁通量的變化率相同．
（2）金屬棒在傾斜軌道上滑動的時間內(nèi)，回路中感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱量為$\frac{{k}^{2}{L}^{4}}{Rsinθ}$$\sqrt{\frac{2H}{g}}$；
（3）若在金屬棒滑到傾斜軌道底端進入勻強磁場B₂后剛好做勻速運動，磁場的磁感應(yīng)強度B₂的大小為$\frac{kL}{\sqrt{2gH}}$．

點評 本題中（1）、（2）問，磁通量均勻變化，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流均恒定，由法拉第電磁感應(yīng)定律研究感應(yīng)電動勢是關(guān)鍵．第3問中要抓住動生電動勢和感生電動勢大小相等是關(guān)鍵．