Question

13．相距L=12.5m、質(zhì)量均為m的兩小球A、B，靜放在足夠長(zhǎng)的絕緣水平面上，與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.2，其中A電荷量為+q，B不帶電．現(xiàn)在水平面附近空間施加一場(chǎng)強(qiáng)大小E=3m/q、水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，A開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，并與B發(fā)生多次對(duì)心碰撞，且碰撞時(shí)間極短，假設(shè)每次碰后兩球交換速度，A帶電量保持不變，B始終不帶電，g取10m/s²，求
（1）第一次碰后B的速度vB1；
（2）從第五次碰撞結(jié)束到第六次碰撞開(kāi)始，B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t_B5；
（3）B運(yùn)動(dòng)的總路程x．

Answer 1

分析 （1）第一次碰撞前，推力和滑動(dòng)摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求解第一次碰撞前A的速度大小，由于發(fā)生彈性碰撞，A、B的動(dòng)量和機(jī)械能均守恒，即可求得碰后B的速度大��；
（2）由于質(zhì)量相等，兩個(gè)物體交換速度，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別研究第一次、第二次…第n次碰撞后B的速度大小，即可求得第五次碰撞后至第六次碰撞前B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）總結(jié)出第n次碰后到第n+1次碰前B的運(yùn)動(dòng)位移，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解總路程．

解答 解：（1）A勻加速L，第一次碰前A的速度設(shè)為v_A1，由動(dòng)能定理得：
$（F-μmg）L=\frac{1}{2}{mv}_{A1}^{2}$…①
解得：${v}_{A1}=\sqrt{\frac{gL}{5}}$
A與B發(fā)生第一次彈性碰撞，遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，設(shè)碰后速度分別為：
v'_A1，v'_B1mv_A1=mv'_A1+mv'_B1…②
 $\frac{1}{2}{mv}_{A1}^{2}=\frac{1}{2}{mv′}_{A1}^{2}+\frac{1}{2}{mv′}_{B1}^{2}$…③
解得：v'_A1=0   $v{′}_{B1}=\sqrt{\frac{gL}{5}}$
（2）第一次碰后，設(shè)經(jīng)過(guò)t₁B停下，B和A位移分別為S_B1和S_A1
${t}_{1}=\frac{v{′}_{B1}}{μg}$…④
 ${S}_{B1}=\frac{{v}_{B1}^{2}}{2μg}$…⑤
 ${S}_{A1}═\frac{1}{2}（\frac{F-μmg}{m}{）t}_{1}^{2}$…⑥
解得：${t}_{1}=\sqrt{\frac{5L}{g}}$${S}_{B1}=\frac{L}{2}$
 ${S}_{A1}=\frac{L}{4}$
由于S_B1＞S_A1，因此第2次碰前，B已經(jīng)停下．設(shè)第2次碰前A的速度為v_A2
$（F-μmg）\frac{L}{2}=\frac{1}{2}{mv}_{A2}^{2}-0$…⑦
A與B發(fā)生第2次彈性碰撞，遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，碰后速度交換，設(shè)碰后速度分別為v'_A2，v'_B2
解得：v'_A2=0    $v{′}_{B2}=\sqrt{\frac{gL}{10}}$
同理依此類(lèi)推，歸納得第n次碰后B的速度為：$v{′}_{Bn}=\sqrt{\frac{gL}{5×{2}^{n-1}}}$
第n次碰后到第n+1次碰前B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{n}=\frac{v{′}_{Bn}}{μg}$
由此得：${t}_{5}=\sqrt{\frac{5L}{16g}}$
（3）第n次碰后到第n+1次碰前B的運(yùn)動(dòng)位移為：${S}_{Bn}=\frac{{v}_{Bn}^{2}}{2μg}$=S_B=S_B1+S_B2+…+S_Bn=L
答：（1）第一次碰撞后B的速度大小為$\sqrt{\frac{gL}{5}}$；
（2）第五次碰撞后至第六次碰撞前B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\sqrt{\frac{5L}{16g}}$；
（3）B運(yùn)動(dòng)的總路程為L(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng) 本題是周期性碰撞類(lèi)型，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法總結(jié)規(guī)律是關(guān)鍵．對(duì)于第3問(wèn)也這樣求解：最終AB靠在一起停下，由能量守恒得：F（L+S_B）=μmg（L+S_B）+μmgS_B解得S_B=L．