Question

3．如圖1所示，豎直放置的光滑圓軌道半徑為R，A、B為圓軌道內表面的最低點和最高點，在A、B兩位置裝有壓力傳感器，可以測量小球經過該位置時對軌道的壓力F．一質量為m的小球置于軌道最低點A處，現給小球一水平向右的初速度v，使其沿圓軌道運動；改變小球的初速度v的大小，測量小球在A、B位置對軌道壓力F_A、F_B（C、D選項中為小球第1次經過B時）的大小，根據測量數據描繪出相應的F-v²圖象為相互平行的直線，如圖2所示．重力加速度為g，則（　�。�

• A． 圖象中v₀=$\sqrt{5gR}$
• B． 圖象中F₀的數值為4mg
• C． 若圓軌道不光滑，F₀=7mg，則按圖中F₀所表示的對應過程從A點經過半個圓周到達B點，小球克服摩擦力做功0.5mgR
• D． 若圓軌道不光滑，但假設小球運動到環(huán)的各處時摩擦力大小與速度無關，則上述兩條F-v²圖象依然平行

Answer 1

分析 小球經過A點和B點時，由合力充當向心力，根據牛頓第二定律和機械能守恒定律列出F_A和F_B與v的關系式，再結合圖象信息解答．

解答 解：A、小球做圓周運動，由牛頓第二定律得：
在A點，有：F_A-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得 F_A=m$\frac{{v}^{2}}{R}$+mg…①
則F_A-v²圖線的斜率為$\frac{m}{R}$．
在B點，有：F_B+mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$…②
從A到B，根據機械能守恒定律得：2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv²…③
聯立①②③得：F_B=m$\frac{{v}^{2}}{R}$-5mg…④
則F_B-v²圖線的斜率為$\frac{m}{R}$．
由數學知識可知，兩圖象平行．
當F_B=0時，由④得：m$\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$=5mg，v=$\sqrt{5gR}$，即得v₀=$\sqrt{5gR}$，故A正確．
B、當F_B=0時，v=$\sqrt{5gR}$，代入①得：F_A=6mg，因此圖象中F₀的數值為6mg．故B錯誤．
C、若圓軌道不光滑，F₀=7mg，此時小球恰好到達B點，在A點有：7mg-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得 v=$\sqrt{6gR}$
在B點，有 mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
從A到B的過程，由動能定理得：-2mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得，小球克服摩擦力做功 W_f=0.5mgR，故C正確．
D、若圓軌道不光滑，且小球運動到環(huán)的各處時摩擦力大小與速度無關，③、④式仍成立，可知兩圖象仍平行，故D正確．
故選：ACD

點評 要研究圖象的物理意義，關鍵要根據物理規(guī)律得到解析式，再通過研究圖象的數學意義來研究其物理意義．