Question

兩塊足夠大的平行金屬板水平放置，極板間加有空間分布均勻、大小隨時(shí)間周期性變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，變化規(guī)律分別如圖1、圖2所示（規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向）．在t=0時(shí)刻由負(fù)極板釋放一個(gè)初速度為零的帶負(fù)電的粒子（不計(jì)重力）．若電場(chǎng)強(qiáng)度E₀、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀、粒子的比荷q/m均已知，且t0=

2πm

qB0

，兩板間距h=

10π2mE0

q B 2 0

．
（1）求粒子在0～t₀時(shí)間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值．
（2）求粒子在兩極板間做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑（用h表示）．
（3）若板間電場(chǎng)強(qiáng)度E隨時(shí)間的變化仍如圖1所示，磁場(chǎng)的變化改為如圖3所示，試畫出粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡圖（不必寫計(jì)算過程）．

Answer 1

分析：根據(jù)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的變化，來對(duì)粒子在各個(gè)時(shí)間段內(nèi)的受力分析是解決該題的關(guān)鍵，此題電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力不是同時(shí)存在的，所以要分別對(duì)小球在電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力作用下的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，只在電場(chǎng)力作用時(shí)，粒子做加速直線運(yùn)動(dòng)，在只有洛倫茲力作用時(shí)，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）在0～t₀時(shí)間，只有電場(chǎng)力，粒子做加速運(yùn)動(dòng)，可運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律進(jìn)行求解．
（2）最大半徑受到兩板之間的距離的影響，首先對(duì)其運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行分析，結(jié)合板間距離，可分析出粒子能做幾個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng)，從而得知做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑．

解答：解：
解法一：
（1）設(shè)粒子在0～t₀時(shí)間內(nèi)的位移大小為s₁，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和你對(duì)第二定律有：
s1=

1

2

a

t

2 0

，a=

qE0

m

又已知t0=

2πm

qB0

，h=

10π2mE0

q B 2 0

聯(lián)立以上兩式解得：

s1

h

=

1

5

．
（2）粒子在t₀～2t₀時(shí)間內(nèi)只受洛倫茲力作用，且速度與磁場(chǎng)方向垂直，所以粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)速度大小為v₁，軌道半徑為R₁，周期為T，則有：
v₁=at₀，qv1B0=

m v 2 1

R1

聯(lián)立以上兩式得R1=

h

5π

又T=

2πm

qB0

，即粒子在t₀～2t₀時(shí)間內(nèi)恰好完成一個(gè)周期的圓周運(yùn)動(dòng)．在2t₀～3t₀時(shí)間內(nèi)，粒子做初速度為v₁的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)位移為s₂，則有：
s2=v1t0+

1

2

a

t

2 0

解得：s2=

3

5

h
由于s₁+s₂＜h，所以粒子在3t₀～4t₀時(shí)間內(nèi)繼續(xù)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度大小為v₂，半徑為R₂，則有：
v₂=v₁+at₀，qv2B0=

m v 2 2

R2

解得：R2=

2h

5π

由于s₁+s₂+R₂＜h，粒子恰好又能完成一個(gè)周期的圓周運(yùn)動(dòng)．
在4t₀～5t₀時(shí)間內(nèi)，粒子運(yùn)動(dòng)到正極板（如圖1所示）．因此粒子的最大半徑為：
R2=

2h

5π

．
（3）粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖2所示．
解法二：
由題意可知，電磁場(chǎng)的周期為2t₀，前半周期粒子受電場(chǎng)作用做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為：
a=

qE0

m

，方向向上．
后半周期粒子受磁場(chǎng)作用多勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T，則有：
T=

2πm

qB0

=t0
粒子恰好完成一次勻速圓周運(yùn)動(dòng)．至第n個(gè)周期末，粒子位移大小為s_n，有：
sn=

1

2

a(nt0)2
又已知sn=

n

5π

h
粒子速度大小為v_n=ant₀，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：
Rn=

mvn

qB0

，
解得：Rn=

nh

5π

，顯然s₂+h＜h＜s₃
所以有：（1）粒子在0～t₀時(shí)間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值為

s1

h

=

1

5

（2）粒子在兩極板間做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑R2=

2h

5π

（3）粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡圖見解法一中的圖2．
答：（1）粒子在0～t₀時(shí)間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值為

s1

h

=

1

5

（2）粒子在兩極板間做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑R2=

2h

5π

（3）粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡圖為圖2．

點(diǎn)評(píng)：帶點(diǎn)粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)本質(zhì)是力學(xué)問題
1、帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)等共存的復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，其受力情況和運(yùn)動(dòng)圖景都比較復(fù)雜，但其本質(zhì)是力學(xué)問題，應(yīng)按力學(xué)的基本思路，運(yùn)用力學(xué)的基本規(guī)律研究和解決此類問題．
2、分析帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的受力時(shí)，要注意各力的特點(diǎn)，如帶電粒子無論運(yùn)動(dòng)與否，在重力場(chǎng)中所受重力及在勻強(qiáng)電場(chǎng)中所受的電場(chǎng)力均為恒力，而帶電粒子在磁場(chǎng)中只有運(yùn)動(dòng) （且速度不與磁場(chǎng)平行）時(shí)才會(huì)受到洛侖茲力，力的大小隨速度大小而變，方向始終與速度垂直，故洛侖茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷只改變粒子運(yùn)動(dòng)的方向，不改變大�。�