Question

4．如圖，一個(gè)質(zhì)量為4m中間呈半球形空腔的滑塊，靜止放置在水平地面上，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從半球形空腔的邊緣靜止釋放，忽略一切摩擦．
（1）若滑塊固定，求質(zhì)點(diǎn)滑到空腔最底部時(shí)的速率及其對(duì)滑塊的正壓力；
（2）若滑塊不固定，求質(zhì)點(diǎn)滑到空腔最底部時(shí)的速率及其對(duì)滑塊的正壓力．

Answer 1

分析 （1）若滑塊固定，m下滑的過程中機(jī)械能守恒，由此即可求出質(zhì)點(diǎn)滑到空腔最底部時(shí)的速率，由牛頓第二定律即可求出其對(duì)滑塊的正壓力；
（2）若滑塊不固定，質(zhì)點(diǎn)下滑的過程中，質(zhì)點(diǎn)與滑塊組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，同時(shí)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，由功能關(guān)系與動(dòng)量守恒定律，結(jié)合牛頓第二定律即可求出滑到空腔最底部時(shí)的速率及其對(duì)滑塊的正壓力．

解答 解：（1）若滑塊固定，質(zhì)點(diǎn)下滑的過程中機(jī)械能守恒，設(shè)半圓軌道的半徑為R，所以：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$   ①
得：v₀=$\sqrt{2gR}$
又：$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}={F}_{N}-mg$   ②
聯(lián)立①②得：F_N=3mg
根據(jù)牛頓第三定律，質(zhì)點(diǎn)對(duì)對(duì)滑塊的正壓力是3mg；
（2）若滑塊不固定，質(zhì)點(diǎn)下滑的過程中，質(zhì)點(diǎn)與滑塊組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，選取向右為正方向，則滑塊向左運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)m向右運(yùn)動(dòng)，所以：
mv₁+4m•v₂=0  ③
又由機(jī)械能守恒，得：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}•4m{v}_{2}^{2}$   ④
聯(lián)立③④得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{8}{5}gR}$
在最低點(diǎn)：${F}_{N}′-mg=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$
聯(lián)立得：${F}_{N}′=\frac{13}{5}mg$
根據(jù)牛頓第三定律，質(zhì)點(diǎn)對(duì)滑塊的正壓力是$\frac{13}{5}mg$
答：（1）若滑塊固定，質(zhì)點(diǎn)滑到空腔最底部時(shí)的速率是$\sqrt{2gR}$，其對(duì)滑塊的正壓力是3mg；
（2）若滑塊不固定，質(zhì)點(diǎn)滑到空腔最底部時(shí)的速率是$\sqrt{\frac{8}{5}gR}$，其對(duì)滑塊的正壓力是$\frac{13}{5}mg$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律的綜合，知道當(dāng)質(zhì)點(diǎn) 在滑塊的最低點(diǎn)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)與滑塊的速度方向相反是解答的關(guān)鍵．