Question

18．一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多）．在圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）．A球的質(zhì)量為m₁，B球的質(zhì)量為m₂．它們沿環(huán)形圓管順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度為v₀．設(shè)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，那么B球在最高點(diǎn)的速度多大？

Answer 1

分析 在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，小球靠重力和管壁的彈力提供向心力，抓住兩球作用于圓管的合力為零，即小球?qū)�管壁的彈力大小相等，方向相反，結(jié)合牛頓第二定律求出B球在最高點(diǎn)的速度．

解答 解：取兩球研究，受力如圖所示，設(shè)兩球所受的彈力分別為N₁、N₂，由牛頓第二定律，
對(duì)A球，$N-{m}_{1}g={m}_{1}\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
對(duì)B球，${N}_{2}+{m}_{2}g={m}_{2}\frac{{v}^{2}}{R}$，
兩球作用于圓管的合力為零，則有：N₁=N₂，
聯(lián)立解得：v=$\sqrt{\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}{{v}_{0}}^{2}+gR（1+\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}）}$．
答：B球在最高點(diǎn)的速度為$\sqrt{\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}{{v}_{0}}^{2}+gR（1+\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}）}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，難度不大．