Question

開普勒在1609-1619年發(fā)表了著名的開普勒行星三定律，其中第三定律的內(nèi)容：所有行星在橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等．實踐證明．開普勒三定律也適用于人造地球衛(wèi)星．2005年10月17日，“神舟”六號飛船在繞地球飛行5天后順利返回．“神舟”六號飛船在圓軌道正常運行時，其圓軌道半徑為r，返回過程可簡化為：圓軌道上飛船，在適當(dāng)位置開動制動發(fā)動機一小段時間（計算時可當(dāng)作一瞬時），使飛船速度減小，并由圓軌道轉(zhuǎn)移到與地面相切的橢圓軌道上，如圖所示，橢圓軌道與地面的切點即為設(shè)在內(nèi)蒙的飛船主著陸場，設(shè)地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，圓軌道為橢圓軌道的一種特殊情況，空氣阻力不計．問：
（1）制動發(fā)動機是采用噴射加速后的質(zhì)子流來制動，那么發(fā)動機應(yīng)向什么方向噴射質(zhì)子流？
（2）飛船在圓軌道運行的周期．
（3）制動之后，飛船經(jīng)過多長時間到達地面的主著陸場．

Answer 1

分析：（1）要制動就必須向運動的反方向噴射質(zhì)子流
（2）由萬有引力提供向心力的周期表達式，可以得到周期
（3）由題可知橢圓軌道的半個周期即為制動后的著陸時間，由開普勒定律可得橢圓軌道的周期，進而聯(lián)合第2問得到的周期，解得結(jié)果

解答：解：
（1）制動就是要噴射與運動方向相反的物質(zhì)，故噴出的質(zhì)子流應(yīng)與運動方向相反
（2）由地面萬有引力等于重力：mg=

GMm

R2

得GM=gR²
由萬有引力充當(dāng)向心力：

GMm

r2

=mr

4π2

T2

得：T=

4π2r3 GM

=

4π2r3 gR2

=

2πr

R

r g

①
（3）設(shè)橢圓軌道的周期為T′，
由開普勒三定律得：

r3

T2

=

( R+r 2 )2

T′2

可得：T′=

R+r

2r

R+r 2r

T②
將（2）式中的①帶入上式可得：
T′=

π(R+r)

R

R+r 2g

飛船到達地面的時間為橢圓周期的一半：t=

T′

2

=

π(R+r)

2R

R+r 2g

答：
（1）制動發(fā)動機是采用噴射加速后的質(zhì)子流來制動，那么發(fā)動機應(yīng)向運動反方向噴質(zhì)子流
（2）飛船在圓軌道運行的周期T=

2πr

R

r g

（3）制動之后，飛船經(jīng)過多長時間到達地面的主著陸場t=

π(R+r)

2R

R+r 2g

．

點評：本題重點是在著陸時間的確定上，由題目的描述，可知應(yīng)是橢圓軌道的半個周期，而要注意關(guān)于橢圓我們能用的公式只有開普勒定律．