Question

如圖，V形細桿AOB能繞其對稱軸OO’轉動，OO’沿豎直方向，V形桿的兩臂與轉軸間的夾角均為α=45°．兩質量均為m=0.1kg的小環(huán)，分別套在V形桿的兩臂上，并用長為L=1.2m、能承受最大拉力F_max=4.5N的輕質細線連接．環(huán)與臂間的最大靜摩擦力等于兩者間彈力的0.2倍．當桿以角速度ω轉動時，細線始終處于水平狀態(tài)，取g=10m/s²．
（1）求桿轉動角速度ω的最小值；
（2）將桿的角速度從（1）問中求得的最小值開始緩慢增大，直到細線斷裂，寫出此過程中細線拉力隨角速度變化的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析：（1）角速度最小時，f_max沿桿向上，此時繩處于松弛狀態(tài)，由豎直方向由平衡條件列式及水平方向根據牛頓第二定律列式即可求解；
（2）當f_max沿桿向下時，繩仍處于松弛狀態(tài)，由豎直方向由平衡條件列式及水平方向根據牛頓第二定律列式即可求解角速度，此后，拉力隨ω的增大而變大，當細線拉力剛達到最大時，求出最大角速度，進而求出拉力．

解答：解：（1）角速度最小時，f_max沿桿向上，此時繩處于松弛狀態(tài)則
豎直方向由平衡條件得F_Nsin45°+f_maxcos45°=mg，
水平方向由牛頓第二定律得F_Ncos45°+f_maxsin45°=mω₁²r，
且f_max=0.2F_N，r=

l

2

，
解得ω₁=

10

3

≈3.33rad/s                
（2）當f_max沿桿向下時，繩仍處于松弛狀態(tài)，有
豎直方向由平衡條件得F_Nsin45°=f_maxcos45°+mg，
水平方向由牛頓第二定律得F_Ncos45°+f_maxsin45°=mω₂²r，
解得ω₂=5rad/s                
此后，拉力隨ω的增大而變大，當細線拉力剛達到最大時，有
F_Nsin45°-f_maxcos45°=mg
F_max+F_Ncos45°-f_maxsin45°=mω₃²r，
解得ω₃=10rad/s            
因此在ω₂～ω₃間，F拉=mω2r-FNcos45°+fmaxsin45°
所以拉力隨角速度的函數(shù)關系式為：F_拉=0（

10

3

rad/s≤ω≤5rad/s）；F拉=0.06ω2-1.5（5rad/s＜ω＜10rad/s）
答：（1）桿轉動角速度ω的最小值為3.33rad/s；
（2）將桿的角速度從（1）問中求得的最小值開始緩慢增大，直到細線斷裂，此過程中細線拉力隨角速度變化的函數(shù)關系式為
F_拉=0（

10

3

rad/s≤ω≤5rad/s）；F拉=0.06ω2-1.5（5rad/s＜ω＜10rad/s）．

點評：本題的關鍵是能對圓環(huán)進行受力分析，根據豎直方向由平衡條件列式及水平方向牛頓第二定律列式求解，難度適中．