Question

7．如圖所示為車站使用的水平傳送帶的模型，它的水平傳送帶的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=8m，傳送帶的皮帶輪的半徑均為R=0.2m，傳送帶的上部距地面的高度為h=0.45m，現(xiàn)有一個(gè)旅行包（視為質(zhì)點(diǎn)）以v₀=10m/s的初速度水平地滑上水平傳送帶．已知旅行包與皮帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.6．本題中g(shù)取10m/s²．試討論下列問(wèn)題：

（1）若傳送帶靜止，旅行包滑到B端時(shí)，人若沒(méi)有及時(shí)取下，旅行包將從B端滑落．則包的落地點(diǎn)距B端的水平距離為多少？
（2）設(shè)皮帶輪順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，并設(shè)水平傳送帶長(zhǎng)度仍為8m，旅行包滑上傳送帶的初速度恒為10m/s．當(dāng)皮帶輪的角速度ω值在什么范圍內(nèi)，旅行包落地點(diǎn)距B端的水平距離始終為（1）中所求的水平距離？若皮帶輪的角速度ω₁=40rad/s，旅行包落地點(diǎn)距B端的水平距離又是多少？
（3）設(shè)皮帶輪以不同的角速度順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，畫(huà)出旅行包落地點(diǎn)距B端的水平距離s 隨皮帶輪的角速度ω變化的圖象．

Answer 1

分析 （1）旅行包向右滑動(dòng)，受到重力、支持力和滑動(dòng)摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律列式求加速度，然后根據(jù)速度位移公式列式求解末速度，最后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式求解水平射程；
（2）如果旅行包一直減速，到達(dá)最右端的速度與傳送帶不動(dòng)時(shí)的速度相同，則平拋的初速度相同，射程也就相同，故只需傳送帶的速度小于旅行箱到達(dá)最右端的速度即可；皮帶的角速度ω₁=40rad/s，旅行箱先減速后勻速，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解．
（3）分三種情況進(jìn)行討論分析：一直勻減速運(yùn)動(dòng)，先勻減速后勻速，一直勻加速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而求出角速度與水平位移的關(guān)系．

解答 解：（1）旅行包做勻減速運(yùn)動(dòng)，ma=μmg
  a=6m/s²
旅行包到達(dá)B端速度為$v=\sqrt{v_0^2-2aL}$=2m/s 
旅行包離開(kāi)傳送帶后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
包從B點(diǎn)到落地點(diǎn)的時(shí)間$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
包的落地點(diǎn)距B端的水平距離為s=vt
解得：s=0.6m
（2）當(dāng)ω₁=40rad/s時(shí)，皮帶速度為v₁=ω₁R=8m/s
當(dāng)旅行包速度也為v₁=8m/s時(shí)，在皮帶上運(yùn)動(dòng)了位移$s=\frac{v_0^2-v_1^2}{2a}$
解得：s=3m＜8m（1分以后旅行包作勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以旅行包到達(dá)B端的速度也為v₁=8m/s）
包的落地點(diǎn)距B端的水平距離為s₁=v₁t
解得：s₁=2.4m
（3）皮帶輪順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，若v_皮≤2m/s 
則旅行包一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)的速度為2m/s，
皮帶輪的臨界角速度為
ω=$\frac{v}{r}$=$\frac{2}{0.2}$rad/s=10rad/s                       
所以當(dāng)ω≤10rad/s時(shí)，旅行包落地點(diǎn)距B端的水平距離S總是0.6m，
若物體在傳送帶上一直做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則根據(jù)位移-速度公式得：
2as=${v}^{2}{{-v}_{0}}^{2}$
解得：v=14m/s
即要求v_皮≥14m/s，ω=$\frac{v}{r}$=70rad/s 
此時(shí)物體到達(dá)B點(diǎn)的速度為14m/s
s=vt=14×0.3m=4.2m
所以當(dāng)ω≥70rad/s時(shí)，旅行包落地點(diǎn)距B端的水平距離S總是4.2m，
若2m/s＜v_皮＜14m/s時(shí)，旅行包先減速運(yùn)動(dòng)，速度與傳送帶相同時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
最終速度與傳送帶速度相同，所以v=ωr
s=vt=0.06ω，圖象是一條傾斜的直線
所以畫(huà)出的圖象如圖所示．
答：①．包的落地點(diǎn)距B端的水平距離是0.6m；
②．設(shè)皮帶輪順時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)，且皮帶輪的角速度ω₁=40rad/s，旅行包落地點(diǎn)距B端的水平距離是2.4m；
③．圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是對(duì)小滑塊的運(yùn)動(dòng)情況分析清楚，然后根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解．