Question

（2013?淮安模擬）如圖所示，傾角為37°的粗糙斜面AB底端與半徑R=0.4m的光滑半圓軌道BC平滑相連，O為軌道圓心，BC為圓軌道直徑且處于豎直方向，A、C兩點等高．質(zhì)量m=1kg的滑塊從A點由靜止開始下滑，恰能滑到與O等高的D點，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ．
（2）若使滑塊能到達C點，求滑塊從A點沿斜面滑下時的初速度v₀的最小值．
（3）若滑塊離開C處的速度大小為4m/s，求滑塊從C點飛出至落到斜面上的時間t．

Answer 1

分析：（1）由題，滑塊恰能滑到與O等高的D點，速度為零，對A到D過程，運用動能定理列式可求出動摩擦因數(shù)μ．
（2）滑塊恰好能到達C點時，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式可得到C點的速度范圍，再對A到C過程，運用動能定理求初速度v₀的最小值．
（3）離開C點做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律和幾何知識結(jié)合求時間．

解答：解：（1）滑塊由A到D過程，根據(jù)動能定理，有：
   mg（2R-R）-μmgcos37°?

2R

sin37°

=0-0
得 μ=

1

2

tan37°=0.375
（2）若滑塊能到達C點，根據(jù)牛頓第二定律　有 mg+FN=

m v 2 c

R

則得  vc≥

Rg

=2m/s
A到C的過程：根據(jù)動能定理　有-μmgcos37°?

2R

sin37°

=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 0

聯(lián)立解得，v₀=

v 2 C +2gR

≥2

3

m/s
所以初速度v₀的最小值為2

3

m/s．
（3）滑塊離開C點做平拋運動，則有
   x=v_ct
   y=

1

2

gt2
由幾何關(guān)系得：tan37°=

2R-y

x

聯(lián)立得  5t²+3t-0.8=0
解得　t=0.2s
答：
（1）滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ為0.375．
（2）若使滑塊能到達C點，滑塊從A點沿斜面滑下時的初速度v₀的最小值為2

3

m/s．
（3）若滑塊離開C處的速度大小為4m/s，滑塊從C點飛出至落到斜面上的時間t是0.2s．

點評：本題是動能定理與向心力、平拋運動及幾何知識的綜合，要注意挖掘隱含的臨界條件，運用幾何知識求解．