Question

5．如圖所示為在水平面的上方有一固定的運輸帶，在運輸帶的左端A用一小段光滑的圓弧與一光滑的斜面體平滑的銜接，該運輸帶在電動機的帶動下以恒定的向左的速度v₀=2m/s運動．將一可以視為質(zhì)點的質(zhì)量為m=2kg的小物體由斜面體上的O點無初速釋放，經(jīng)A點滑上運輸帶，經(jīng)過一段時間小物體從運輸帶最右端的B點離開，落地點為C．已知O與A點的高度差為H₁=1.65m、A點距離水平面的高度差為H₂=0.8m、落地面C到運輸帶最右端的水平距離為x=1.2m，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小物體運動到C點的速度應為多大？
（2）如果僅將O與A點的高度差變?yōu)镠₁′=0.8m，且當小物體剛好運動到A點時，撤走光滑的斜面體，求小物體落在水平面時的速度應為多大？
（3）在第（2）問中小物體在整個運動過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量應為多少？

Answer 1

分析 （1）滑塊自運輸帶右端飛出后做平拋運動，已知平拋的水平位移和高度，由分位移公式求解物體運動到B點的速度．再由機械能守恒定律求出運動到C點的速度．
（2）滑塊由H₁=1.65m處由靜止開始下滑到運輸帶，在滑到運輸帶右端過程中，由功能關(guān)系求出摩擦力對滑塊做功大小W_f．根據(jù)mgH₁′＜W_f，分析知道滑塊先向右減速，速度至零后向左加速，從傳送帶左端離開．根據(jù)動能定理求出物體從左端滑出時的速度，再對物體離開傳送帶的過程，根據(jù)機械能守恒定律求解小物體落在水平面時的速度．
（3）由運動學公式求出物體與傳送帶間的相對位移，從而求得摩擦生熱．

解答 解：（1）設滑塊滑至運輸帶的右端速度為v₁，滑塊自運輸帶右端飛出至落地時間為t，則在水平方向上 x=v₁t
在豎直方向上 H₂=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
設滑塊落地時的速度為v，根據(jù)機械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+mgH₂=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由①②③解得 v₁=3m/s，v=5m/s
（2）設滑塊由H₁=1.65m處由靜止開始下滑到運輸帶，在滑到運輸帶右端過程中，摩擦力對滑塊做功大小為W_f，由功能關(guān)系得
  mgH₁=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+W_f；
解得 W_f=24J
由于 mgH₁′＜W_f，則滑塊由H₁′=0.8m處開始下滑到運輸帶，在滑到運輸帶右端前滑塊的速度就應減為零，然后滑塊要向左運動，設滑塊由H₁′=0.8m處靜止開始下滑到運輸帶，在到達運輸帶左端的速度為v₀′，則
  mgH₁′=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$
解得 v₀′=4m/s
因為 v₀＜v₀′，故滑塊向左運動的過程中，先加速至于運輸帶速度相同，后勻速運動至運輸帶左端作平拋運動，設滑塊從運輸帶左端拋出落地時的速度大小為v₂，根據(jù)機械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mgH₂=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得 v₂=2$\sqrt{5}$m/s
（3）設滑塊與運輸帶間的動摩擦因數(shù)為μ，滑塊由H₁′=0.8m處靜止開始下滑到運輸帶，在運輸帶上滑到速度為零的過程中，滑塊運動的時間為t₁，滑塊與運輸帶摩擦所產(chǎn)生的熱量為Q₁，則有
  Q₁=μmg（$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}$+v₀t₁）
又對滑塊，由動能定理得
-μmg$\frac{{v}_{0}′}{2}{t}_{1}$=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$
設滑塊后來又向運輸帶左端運動的過程中，滑塊加速至v₀的時間為t₂，滑塊與運輸帶摩擦所產(chǎn)生的熱量為Q₂，則
  Q₂=μmg（v₀t₂+$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}$）
對滑塊，由動能定理得 μmg•$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-0
則滑塊自釋放至落地全過程中滑塊與運輸帶摩擦所產(chǎn)生的熱量 Q=Q₁+Q₂．
解得 Q=36J
答：
（1）小物體運動到C點的速度應為5m/s．
（2）小物體落在水平面時的速度應為2$\sqrt{5}$m/s．     
（3）小物體在整個運動過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量應為36J．

點評 通過分析物體的受力情況，來判斷其運動情況，抓住每個過程遵守的物理規(guī)律是解答的關(guān)鍵．要注意摩擦生熱要根據(jù)相對位移求．