Question

如圖所示，在坐標(biāo)系xoy中，過原點(diǎn)的直線OC與x軸正向的夾角φ=120°，在OC右側(cè)有一勻強(qiáng)電場(chǎng)；在第二、三象限內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其上邊界與電場(chǎng)邊界重疊、右邊界為y軸、左邊界為圖中平行于y軸的虛線，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。一帶正電荷q、質(zhì)量為m的粒子以某一速度自磁場(chǎng)左邊界上的A點(diǎn)射入磁場(chǎng)區(qū)域，并從O點(diǎn)射出，粒子射出磁場(chǎng)的速度方向與x軸的夾角θ＝30°，大小為v。粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為紙面內(nèi)的一段圓弧，且弧的半徑為磁場(chǎng)左右邊界間距的兩倍。粒子進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)力的作用下又由O點(diǎn)返回磁場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)過一段時(shí)間后再次離開磁場(chǎng)。已知粒子從A點(diǎn)射入到第二次離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間恰好等于粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。忽略重力的影響。求

（1）粒子經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)速度的方向和A點(diǎn)到x軸的距離；

（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小和方向；

（3）粒子從第二次離開磁場(chǎng)到再次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)所用的時(shí)間。

Answer 1

（1）設(shè)磁場(chǎng)左邊界與x軸相交于D點(diǎn)，與CO相交于O′點(diǎn)，由幾何關(guān)系可知，直線OO′與粒子過O點(diǎn)的速度v垂直。在直角三角形OO′D中∠OO′D=30°。設(shè)磁場(chǎng)左右邊界間距為d，則OO′=2d。依題意可知，粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心即為O′點(diǎn)，圓弧軌跡所對(duì)的圓心角為30°，且O′A為圓弧的半徑R。

由此可知，粒子自A點(diǎn)射入磁場(chǎng)的速度與左邊界垂直。A點(diǎn)到x軸的距離

                       ①

由洛侖茲力公式、牛頓第二定律及圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，得

qvB=                                        ②

聯(lián)立①②式得

 

           ③

(2)設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，第一次在磁場(chǎng)中飛行的時(shí)間為t₁，有

                                            ④

                                        ⑤

依題意，勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向與x軸正向夾角應(yīng)為150°。由幾何關(guān)系可知，粒子再次從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方向與磁場(chǎng)右邊界夾角為60°。設(shè)粒子第二次在磁場(chǎng)中飛行的圓弧的圓心為O″，O″必定在直線OC上。設(shè)粒子射出磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)右邊界交于P點(diǎn)，則∠OO″P=120°。

設(shè)粒子第二次進(jìn)入磁場(chǎng)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，有

                                          ⑥

設(shè)帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃,依題意得

                             ⑦

由勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和牛頓定律可知，

-v=v-at₃                                            ⑧

                                           ⑨

聯(lián)立④⑤⑥⑦⑧⑨可得

                                     ⑩

（3）粒子自P點(diǎn)射出后將沿直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)其由P′點(diǎn)再次進(jìn)入電場(chǎng)，由幾何關(guān)系知∠O″P′P=30°                                         

三角形OPP′為等腰三角形。設(shè)粒子在P、P′兩點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₄，有

                                        

又由幾何關(guān)系知             

聯(lián)立②式得