Question

真空中存在空間范圍足夠大的、水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)．在電場(chǎng)中，若將一個(gè)質(zhì)量為m、帶正電的小球由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)中小球的速度與豎直方向夾角為37°（取sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）．現(xiàn)將該小球從電場(chǎng)中某點(diǎn)以初速度v₀豎直向上拋出．求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：
（1）小球受到的電場(chǎng)力的大小和方向；
（2）小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能；
（3）小球從拋出點(diǎn)到與拋出點(diǎn)同一水平高度處電勢(shì)能的變化量；
（4）小球最小速度的大小和方向．

Answer 1

分析：（1）小球靜止釋放時(shí)，由于所受電場(chǎng)力與重力均為恒力，故其運(yùn)動(dòng)方向和合外力方向一致，根據(jù)這點(diǎn)可以求出電場(chǎng)力大小和方向；
（2）小球拋出后，水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，可求出水平方向的位移，利用電場(chǎng)力做功即可求出電勢(shì)能的變化量，或者求出高點(diǎn)時(shí)小球水平方向速速，然后利用動(dòng)能定理求解；
（3）利用運(yùn)動(dòng)的合成求出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中合速度的表達(dá)式，然后利用數(shù)學(xué)求極值的辦法即可求出最小速度．

解答：解：（1）根據(jù)題設(shè)條件可知，合外力和豎直方向夾角為37°，所以電場(chǎng)力大小為：
     F_e=mgtan37°=

3

4

mg，電場(chǎng)力的方向水平向右．
故電場(chǎng)力為

3

4

，方向水平向右．
（2）小球沿豎直方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，有：v_y=v₀-gt
沿水平方向做初速度為0的勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為a：ax=

F

m

=

3

4

g
小球上升到最高點(diǎn)的時(shí)間t=

v0

g

，此過(guò)程小球沿電場(chǎng)方向位移：sx=

1

2

axt2=

3 v 2 0

8g

電場(chǎng)力做功 W=F_xs_x=

9

32

mv₀²
故小球上升到最高點(diǎn)時(shí)，豎直方向的分速度是0，它的動(dòng)能就等于電場(chǎng)力做功，即：EK=

9

32

m

v

2 0

（3）小球從拋出點(diǎn)到與拋出點(diǎn)同一水平高度處小球經(jīng)歷的時(shí)間：T=2t=

2v0

g

水平方向的位移：x′=

1

2

axT2=

3 v 2 0

2g

電場(chǎng)力做功W′=Fxx′=

9m v 2 0

8

故小球從拋出點(diǎn)到與拋出點(diǎn)同一水平高度處電勢(shì)能的變化量△EP=

9m v 2 0

8

；
（4）水平速度：v_x=a_xt
  豎直速度：v_y=v₀-gt
小球的速度：v=

v 2 x + v 2 y

 
由以上各式得出：

25

16

g²t²-2v₀gt+（v₀²-v²）=0
解得當(dāng)t=

16v0

25g

時(shí)，v有最小值 vmin=

3

5

v0
此時(shí)：v_x=

12

25

v₀，v_y=

9

25

v₀，tanθ=

vy

vx

=

3

4

，即與電場(chǎng)方向夾角為37°斜向上
答：（1）小球受到的電場(chǎng)力的大小為

3

4

mg和方向沿水平方向；
（2）小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能

9

32

m

v

2 0

；
（3）小球從拋出點(diǎn)到與拋出點(diǎn)同一水平高度處電勢(shì)能的變化量

9

8

m

v

2 0

；
（4）小球最小速度是vmin=

3

5

v0和方向即與電場(chǎng)方向夾角為37°斜向上．

點(diǎn)評(píng)：本題在復(fù)合場(chǎng)中考察了運(yùn)動(dòng)的合成、分運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系等，有一定的綜合性．解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是：正確進(jìn)行受力分析，弄清運(yùn)動(dòng)形式，利用相應(yīng)物理規(guī)律求解．