Question

【題目】如圖所示，已知半徑分別為R和r（R＞r）的甲、乙兩個(gè)光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上，甲軌道左側(cè)又連接一個(gè)光滑的軌道，兩圓形軌道之間由一條水平軌道CD相連．一小球自某一高度由靜止滑下，先滑上甲軌道，通過(guò)動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的CD段，又滑上乙軌道，最后離開(kāi)圓軌道．若小球在兩圓軌道的最高點(diǎn)對(duì)軌道壓力都恰好為零．已知當(dāng)?shù)刂亓�加速度�?/span>g，試求：

（1）小球分別經(jīng)過(guò)C、D時(shí)的速度；

（2）小球釋放的高度h；

（3）水平CD段的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1） （2）2.5R（3）

【解析】（1）小球在光滑圓軌道上滑行時(shí)，機(jī)械能守恒，設(shè)小球滑過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度為vc，通

過(guò)甲環(huán)最高點(diǎn)速度為v′，根據(jù)小球?qū)ψ罡唿c(diǎn)壓力為零，有

①

取軌道最低點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，由機(jī)械守恒定律: ②

由①、②兩式消去v′，可得 　　　 ③

同理可得小球滑過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度 　　 ④

所以小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度為 經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的速度為

（2）小球從在甲軌道左側(cè)光滑軌道滑至C點(diǎn)時(shí)機(jī)械能守恒，有 ⑤

由③、⑤兩式聯(lián)立解得h=2.5R

因此小球釋放的高度為2.5R

（3）設(shè)CD段的長(zhǎng)度為l，對(duì)小球滑過(guò)CD段過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理

⑥

由③、④、⑥三式聯(lián)立解得

則有水平CD段的長(zhǎng)度為