Question

10．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，第工象限內(nèi)有沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，第IV象限內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在y軸的正半軸上，各點(diǎn)處均向x軸正向發(fā)射質(zhì)量均為m、電荷量為q的帶正電粒子，結(jié)果這些粒子均能從x軸上的Q占決入磁場(chǎng)，并且到Q點(diǎn)速度最小的粒子A，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好從（0，一L）射出磁場(chǎng)，已知QQ=L，粒子的重力不計(jì)．求：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小及粒子A在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）若某粒子c從y軸上的P點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)，速度方向與x軸正向成30°，求OP的大小及該粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度，然后根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與牛頓第二定律可以求出OP的長(zhǎng)度與粒子的軌道半徑．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：L=v₀t，豎直方向：v_y=$\frac{qE}{m}$t，
到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{L}{t}）^{2}+（\frac{qE}{m}t）^{2}}$，
當(dāng)：$\frac{L}{t}$=$\frac{qE}{m}$t時(shí)，速度最小，為：v=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$，速度方向與x軸夾角為45°，
粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從（0，-L）射出磁場(chǎng)，由幾何知識(shí)可知，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=2$\sqrt{\frac{mE}{qL}}$，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{2}\sqrt{\frac{mL}{qE}}$；
（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0．y），粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：L=v₀t，豎直方向：y=$\frac{{v}_{y}}{2}$t，
到Q點(diǎn)時(shí)，tan30°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，解得：y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$L，即OP的大小為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$L，
v_y=$\sqrt{\frac{2qEy}{m}}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}qEL}{3m}}$，粒子速度：v′=$\frac{{v}_{y}}{sin30°}$，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：R=$\frac{mv′}{qB}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{3}}$L；
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2$\sqrt{\frac{mE}{qL}}$，粒子A在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{π}{2}\sqrt{\frac{mL}{qE}}$；
（2）OP的大小為$\frac{\sqrt{3}}{6}$L，該粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{3}}$L．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與牛頓第二定律可以解題．