Question

19．若金星和地球的公轉軌道均視為圓形，且在同一平面內(nèi)，如圖所示．在地球上觀測，發(fā)現(xiàn)金星與太陽可呈現(xiàn)的視角（太陽與金星均視為質點，它們與眼睛連線的夾角）有最大值，最大視角的正弦值為k，則金星的公轉周期為（　�。�

• A． $（1-{k}^{2}）^{\frac{3}{2}}$年
• B． $（1-{k}^{2}）^{\frac{3}{4}}$年
• C． k³年
• D． $\sqrt{{k}^{3}}$年

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關系求出金星的軌道半徑和地球的軌道半徑的關系，根據(jù)開普勒第三定律，得出金星的公轉周期

解答 解：金星與太陽的最大視角出現(xiàn)的情況是地球上的人的視線看金星時，視線與金星的軌道相切，如圖所示．θ為最大視角，由圖可知
$sinθ=\frac{{r}_{金}^{\;}}{{r}_{地}^{\;}}$
根據(jù)題意，最大正弦值為k，則有：
$\frac{{r}_{金}^{\;}}{{r}_{地}^{\;}}=k$
根據(jù)開普勒第三定律有：$\frac{{r}_{金}^{3}}{{r}_{地}^{3}}=\frac{{T}_{金}^{2}}{{T}_{地}^{2}}$
聯(lián)立以上幾式得：$\frac{{T}_{金}^{2}}{{T}_{地}^{2}}={k}_{\;}^{3}$
解得：${T}_{金}^{\;}=\sqrt{{k}_{\;}^{3}}{T}_{地}^{\;}=\sqrt{{k}_{\;}^{3}}$，D正確，ABC錯誤；
故選：D

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論，本題對數(shù)學能力要求較高，需加強訓練