Question

13．如圖所示，一小球從半徑為R的固定半圓軌道左端A點正上方某處開始做平拋運動（小球可視為質(zhì)點），飛行過程中恰好與半圓軌道相切于B點．O點為半圓軌道圓心，OB與水平方向夾角為60°，重力加速度為g，下列說法正確的是（　�。�

• A． 小球經(jīng)B點后將沿著半圓軌道運動
• B． 小球在B點的加速度為$\frac{g}{2}$
• C． 小球拋出時的初速度為$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}gR}{2}}$
• D． 小球自拋出至落地點的過程中相同時間內(nèi)時的變化量不同

Answer 1

分析 根據(jù)幾何知識求出平拋運動到B點的水平位移，結合速度方向，抓住平拋運動某時刻速度方向與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍得出豎直位移，結合平拋運動的規(guī)律求出初速度，結合平行四邊形定則求出B點的速度．抓住徑向的合力提供向心力求出B點支持力為零的速度，確定出小球在B點不受支持力，從而分析判斷．

解答 解：由幾何知識可得，小球自拋出至B點的水平射程為 x=R+Rcos60°=$\frac{3R}{2}$，
速度方向與水平方向的夾角為30°，設位移與水平方向的夾角為α，則tanα=$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}tan30°$，解得平拋運動的豎直位移y=$\frac{\sqrt{3}}{4}R$，
根據(jù)y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v₀t得，平拋運動的初速度v₀=$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}gR}{2}}$，故C正確．
小球在B點的速度${v}_{B}=\frac{{v}_{0}}{cos30°}$=$\sqrt{2\sqrt{3}gR}$，
在B點，若支持力為零，根據(jù)$mgcos30°=m\frac{{v}_{B}{′}^{2}}{R}$得，v_B′=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gR}{2}}$＜v_B，可知小球經(jīng)過B點時，支持力為零，小球在整個過程中做平拋運動，不會驗證半圓軌道運動，故A錯誤．
由于小球在整個過程中做平拋運動，在B點的加速度為g，相等時間內(nèi)速度變化量相同，故B、D錯誤．
故選：C．

點評 本題考查了平拋運動、圓周運動與牛頓第二定律的綜合運用，通過幾何關系和平拋運動的規(guī)律求出初速度和B點的速度，通過牛頓第二定律判斷B點支持力為零是解決本題的關鍵．