Question

8．如圖所示，在xoy平面內(nèi)以O(shè)為圓心、R₀為半徑的圓形區(qū)域I內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子以速度v₀從A（R₀，0）點沿x軸負(fù)方向射入?yún)^(qū)域I，經(jīng)過P（0，R₀）點，沿y軸正方向進入同心環(huán)形區(qū)域Ⅱ，為使粒子經(jīng)過區(qū)域Ⅱ后能從Q點回到區(qū)域I，需在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加一垂直于紙面向里的勻強磁場．已知OQ與x軸負(fù)方向成30°角，不計粒子重力．求：
（1）區(qū)域I中磁感應(yīng)強度B₀的大��；
（2）環(huán)形區(qū)域Ⅱ的外圓半徑R至少為多大；
（3）粒子從A點出發(fā)到再次經(jīng)過A點所用的最短時間．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出磁感應(yīng)強度．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，由幾何知識求出邊界半徑．
（3）求出粒子在磁場中的轉(zhuǎn)過的圓心角，根據(jù)粒子做圓周運動的周期公式求出粒子的時間．

解答 解：（1）設(shè)在區(qū)域Ⅰ內(nèi)軌跡圓半徑為r₁，由圖中幾何關(guān)系可得：r₁=R₀
由牛頓第二定律可得：r₁=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$
解得：B₀=$\frac{m{v}_{0}}{q{R}_{0}}$
（2）設(shè)粒子在區(qū)域Ⅱ中的軌跡圓半徑為r₂，部分軌跡如圖所示，有幾何關(guān)系知：r₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}{r}_{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}{R}_{0}$    （1，
由幾何關(guān)系得R=2r₂+r₂=3r₂
 即R=$\sqrt{3}{R}_{0}$
（3）當(dāng)粒子由內(nèi)側(cè)劣弧經(jīng)過A點時，應(yīng)滿足
 150°n+90°=360°m   
當(dāng)m=4時，n=9時間最短     
t₁=10（$\frac{1}{4}•\frac{2π{R}_{0}}{{v}_{0}}）$
t₂=9$（\frac{2}{3}•\frac{2π\(zhòng)frac{\sqrt{3}}{3}{R}_{0}}{{v}_{0}}）$
最小時間t=t₁+t₂=$\frac{5π{R}_{0}}{{v}_{0}}$$+\frac{4\sqrt{3}π{R}_{0}}{{v}_{0}}$
答：
（1）區(qū)域I中磁感應(yīng)強度B₀的大小為$\frac{m{v}_{0}}{q{R}_{0}}$；
（2）環(huán)形區(qū)域Ⅱ的外圓半徑R至少為$\sqrt{3}{R}_{0}$；
（3）粒子從A點出發(fā)到再次經(jīng)過A點所用的最短時間為$\frac{5π{R}_{0}}{{v}_{0}}$$+\frac{4\sqrt{3}π{R}_{0}}{{v}_{0}}$．

點評 本題考查了粒子在磁場中的運動，分析清楚粒子運動過程，應(yīng)用牛頓第二定律與周期公式分析答題，作出粒子運動軌跡有助于解題．