Question

【題目】在研究跳水運(yùn)動(dòng)員在水中所受阻力的情況以及設(shè)計(jì)跳水場(chǎng)地水池深度時(shí)，可以用金屬和橡膠制作一個(gè)運(yùn)動(dòng)員模型，在它頭部攜帶有壓力傳感器，模型入水后傳感器可通過(guò)計(jì)算機(jī)顯示出水對(duì)模型的等效阻力f的量值隨其入水的深度y變化的函數(shù)曲線。己知這個(gè)模型的總質(zhì)量m=60kg，并可將其視為長(zhǎng)度l=1.65m、直徑d=0.25m的圓柱體。這個(gè)模型頭向下從高于水面H=10m的跳臺(tái)自由落下入水后，計(jì)算機(jī)上顯示出的f-y變化曲線如圖所示。通過(guò)用計(jì)算機(jī)擬合圖線可知，該曲線可近似看作橢圓的一部分，該橢圓的長(zhǎng)、短軸分別與坐標(biāo)軸Oy和Of辦重合。橢圓與y軸相交于y=h處，與f軸交于 處。為了確保運(yùn)動(dòng)員跳水時(shí)的安全，估算水池中水的深度h至少應(yīng)等于多少？

Answer 1

【答案】4.8m

【解析】

運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)可分為三個(gè)過(guò)程（如圖所示）：

A→B運(yùn)動(dòng)員僅受重力mg（恒力）作用，做自由落體運(yùn)動(dòng)。該過(guò)程中重力做正功，初始速度vA=0。

B→C運(yùn)動(dòng)員剛接觸水面到全身浸入水中，受重力mg（恒力，做正功），阻力f（變力，做負(fù)功）

和浮力F2（變力，做負(fù)功）的作用，所受阻力和浮力都隨著人體入水深度的增加而變化。

C→D運(yùn)動(dòng)員全身浸入水中到剛接觸水池底面，受重力mg（恒力，做正功），阻力f（變力，做負(fù)功），浮力F2（恒力，做負(fù)功）的作用。

依題意，為保證運(yùn)動(dòng)員的安全，水池中水的最小深度為h，意為運(yùn)動(dòng)員接觸水池底面時(shí)速度為零，即vD=0。

根據(jù)上面分析，對(duì)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的整個(gè)ABCD過(guò)程，由動(dòng)能定理得：

WG+WF1+WF2+Wf=△Ek=0

其中，WG為重力的功：

WG=mg（H+h）

WF2為浮力F2的功：

為浮力F1的功，Wf為阻力f的功。浮力F1和阻力f均為變力，它們的功可用圖象法求解。

對(duì)B→C過(guò)程，以運(yùn)動(dòng)員入水時(shí)的位置為零點(diǎn)，豎直向下為正方向建立oy坐標(biāo)如圖所示。

當(dāng)人體入水深度為y時(shí)，

F1=－gSy，

S為圓柱體截面積。浮力F1隨運(yùn)動(dòng)員入水深度y的變化關(guān)系如圖所示。

F1做功的量值等于上圖曲線下的面積

同理，由圖象法求得：

聯(lián)立上述方程，并代入數(shù)據(jù)得：