Question

20．如圖所示為“S”形玩具軌道，該軌道是用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成的，固定在豎直平面內(nèi)，軌道彎曲部分是由兩個(gè)半徑相等的半圓連接而成的，圓半徑比細(xì)管內(nèi)徑大得多，軌道底端與水平地面相切，彈射裝置將一個(gè)小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從a點(diǎn)水平射向b點(diǎn)并進(jìn)入軌道，經(jīng)過軌道后從p點(diǎn)水平拋出，已知小球與地面ab段間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，不計(jì)其他機(jī)械能損失，ab段長L=1.25m，圓的半徑R=0.1m，小球質(zhì)量m=0.01kg，軌道質(zhì)量為M=0.15kg，g=10m/s²，求：
（1）若v₀=5m/s，小球從p點(diǎn)拋出后的水平射程；
（2）若v₀=5m/s，小球經(jīng)過軌道的最高點(diǎn)時(shí)，管道對(duì)小球作用力的大小和方向；
（3）設(shè)小球進(jìn)入軌道之前，軌道對(duì)地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當(dāng)v₀至少為多大時(shí)，軌道對(duì)地面的壓力為零．

Answer 1

分析 （1）對(duì)a到p運(yùn)用動(dòng)能定理求出小球到達(dá)P點(diǎn)的速度，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小物體拋出后的水平射程．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出管道對(duì)小物體的作用力大小和方向．
（3）當(dāng)小球在“S”形道中間位置軌道對(duì)地面的壓力為零，此時(shí)速度最小，根據(jù)動(dòng)能定理，結(jié)合牛頓第二定律求出最小的速度．

解答 解：（1）設(shè)小物體運(yùn)動(dòng)到p點(diǎn)的速度大小為v，對(duì)小物體由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到p點(diǎn)過程運(yùn)用動(dòng)能定理得，
$-μmgL-mg•4R=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
小物體自p點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，水平射程為s，則：
$4R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
s=vt
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得s=$0.4\sqrt{6}m$．
（2）設(shè)在軌道的最高點(diǎn)時(shí)管道對(duì)小物體的作用力大小為F，取豎直向下為正方向，根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)+mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得：
F=1.1N，方向豎直向下．
（3）分析可知，要使小球以最小速度v₀運(yùn)動(dòng)，且軌道對(duì)地面的壓力為零，則小球的位移應(yīng)該在“S”形道中間位置．
根據(jù)牛頓第二定律得，
$F′+mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
F′=Mg
根據(jù)動(dòng)能定理得，$-μmgL-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得v₀=5m/s．
答：
（1）小物體從P點(diǎn)拋出后的水平射程為$0.4\sqrt{6}m$．
（2）管道對(duì)小物體作用力的大小為1.1N，方向豎直向下
（3）當(dāng)v₀=5m/s，軌道對(duì)地面的壓力為零．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查牛頓第二定律和動(dòng)能定理的運(yùn)用，難度中等，涉及到圓周運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)，需加強(qiáng)這方面題型的訓(xùn)練．