Question

【題目】如圖所示，豎直平面內(nèi)固定一光滑軌道ABCD，分別由弧面AB段、水平面BC段和半圓弧面CD段組成，三段軌道分別在B點(diǎn)和C點(diǎn)平滑連接，已知半圓弧面半徑為R，直徑DOC垂直BC。大小相同的小球從左到右依次編號(hào)為1、2、3……、N，間隔一定距離靜止在水平軌道上，已知每個(gè)小球的質(zhì)量為其相鄰左邊小球質(zhì)量的k倍（k<1）。將質(zhì)量為m的1號(hào)小球置于弧面AB段高出水平面BC為的位置，由靜止釋放，在水平軌道上與2號(hào)小球碰撞，2號(hào)小球再與3號(hào)小球碰撞……。所有碰撞均為對(duì)心正碰且無(wú)機(jī)械能損失，重力加速度為g。求：

(1)1號(hào)小球與2號(hào)小球碰撞之后，2號(hào)小球的速度大��；

(2)當(dāng)N=3時(shí)第3個(gè)小球滑上圓軌道后對(duì)C點(diǎn)的壓力；

(3)為保證N=5時(shí)第5個(gè)小球在第一次被碰撞后不會(huì)脫離半圓軌道，求k的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）v2=；（2）k2mg［+1］；方向豎直向下；（3）k1；或者k-1

【解析】

（1）根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒求解1號(hào)小球與2號(hào)小球碰撞之后，2號(hào)小球的速度大��；（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒求解3號(hào)小球被碰后的速度，應(yīng)用牛頓第二定律可得第3個(gè)小球滑上圓軌道后對(duì)C點(diǎn)的壓力；（3）根據(jù)小球不脫離軌道的條件以及能經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的條件求解.

（1）設(shè)1號(hào)碰前的速度為v1，對(duì)于1號(hào)小球由釋放點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒有

設(shè)1號(hào)、2號(hào)小球碰撞后的速度分別為v1′和v2，取水平向右為正方向。

設(shè)2號(hào)小球的質(zhì)量為m2，對(duì)于1、2號(hào)小球碰撞的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有

根據(jù)機(jī)械能守恒有

解得：

（2）設(shè)2號(hào)、3號(hào)小球碰撞后的速度分別為v2′和v3，對(duì)于2、3號(hào)小球碰撞的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有

根據(jù)機(jī)械能守恒有

同理可解得：3號(hào)小球被碰后的速度

在C點(diǎn)，對(duì)3號(hào)小球應(yīng)用牛頓第二定律可得

根據(jù)牛頓第三定律3號(hào)小球?qū)�軌道的壓�?/span>

方向豎直向下

（3）由（2）中的結(jié)果可推知5號(hào)小球被碰后的速度

5號(hào)小球第一次被碰撞后不會(huì)脫離半圓軌道需滿足：

情況Ⅰ：

情況Ⅱ：

且在最高點(diǎn)滿足：

解得

或者