Question

20．如圖在圓柱形房屋的天花板的中心O點(diǎn)，懸掛一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩，繩子的下端掛一個(gè)質(zhì)量為m的小球，已知重力加速度為g，繩能承受的最大拉力為2mg，小球在水平面內(nèi)作圖示的圓周運(yùn)動(dòng)，速度逐漸增大，繩子斷裂，小球最后恰好以速度v₂=$\sqrt{7gL}$落到墻角邊，下落過(guò)程小球與周?chē)鷫Ρ跊](méi)有接觸．求：
（1）繩斷裂的瞬間小球的運(yùn)動(dòng)速度v₁的大小
（2）圓柱形房屋的高度H
（3））圓柱形房屋底面的半徑R．

Answer 1

分析 （1）小球在水平面仙做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解速度v₁；
（2）（3）小球在繩子斷開(kāi)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求得小球下落的高度h，H=h+Lcosθ．由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解半徑．

解答 解：（1）分析小球的受力情況，有：
Tcosθ=mg
Tsinθ=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{Lsinθ}$
解得：θ=60°，v₁=$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$
（2）由動(dòng)能定理有：
mgh=$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
解得：h=$\frac{11}{4}L$
所以有：H=h+Lcosθ=$\frac{13}{4}$L
由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，有：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由幾何知識(shí)得：R=$\sqrt{（Lsinθ）^{2}+（{v}_{1}t）^{2}}$=3L
答：（1）繩斷裂瞬間小球的速度v₁為$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$．
（2）圓柱形房屋的高度H為$\frac{13}{4}$L
（3）圓柱形房屋底面的半徑R3L．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式及向心力公式的應(yīng)用，要求同學(xué)們能畫(huà)出小球運(yùn)動(dòng)的軌跡，能結(jié)合幾何關(guān)系解題，難度適中．