Question

（2004?江蘇）如圖所示，半徑為R、圓心為O的大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，兩個(gè)輕質(zhì)小圓環(huán)套在大圓環(huán)上．一根輕質(zhì)長(zhǎng)繩穿過(guò)兩個(gè)小圓環(huán)，它的兩端都系上質(zhì)量為m的重物．忽略小圓環(huán)的大�。�
（1）將兩個(gè)小圓環(huán)固定在大圓環(huán)豎直對(duì)稱軸的兩側(cè)θ=30°的位置上（如圖）．在兩個(gè)小圓環(huán)間繩子的中點(diǎn)C處，掛上一個(gè)質(zhì)量M=

2

m的重物，使兩個(gè)小圓環(huán)間的繩子水平，然后無(wú)初速釋放重物M．設(shè)繩子與大、小圓環(huán)間的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距離．
（2）若不掛重物M，小圓環(huán)可以在大圓環(huán)上自由移動(dòng)，且繩子與大、小圓環(huán)間及大、小圓環(huán)之間的摩擦均可以忽略，問(wèn)兩個(gè)小圓環(huán)分別在哪些位置時(shí)，系統(tǒng)可處于平衡狀態(tài)？

Answer 1

分析：（1）對(duì)系統(tǒng)受力分析可知，系統(tǒng)不受摩擦力的作用，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，M減小的機(jī)械能應(yīng)該等于m增加的機(jī)械能，列出方程可以求得M下降的最大的距離；
（2）要使物體受力平衡，每個(gè)環(huán)的受力都要平衡，當(dāng)環(huán)受到的力在豎直面上時(shí)，此時(shí)的受力情況最簡(jiǎn)單，只要豎直方向上受力平衡即可，當(dāng)不在同一個(gè)豎直面上時(shí)，環(huán)受到三個(gè)力的作用處于三力平衡的狀態(tài)，列示可以求得夾角的大�。�

解答：解：（1）重物向下先做加速運(yùn)動(dòng)，后做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)重物速度為零時(shí)，下降的距離最大．
設(shè)下降的最大距離為h，由機(jī)械能守恒定律得
Mgh=2mg[

h2+(Rsinθ)2

-Rsinθ]
解得    h=

2

R（另解h=0舍去）．
所以重物M下降的最大距離為

2

R．
（2）系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，兩小環(huán)的可能位置為：
a．兩小環(huán)同時(shí)位于大圓環(huán)的底端．
b．兩小環(huán)同時(shí)位于大圓環(huán)的頂端．
c．兩小環(huán)一個(gè)位于大圓環(huán)的頂端，另一個(gè)位于大圓環(huán)的底端．
d．除上述三種情況外，根據(jù)對(duì)稱性可知，系統(tǒng)如能平衡，則兩小圓環(huán)的位置一定關(guān)于大圓環(huán)豎直對(duì)稱軸對(duì)稱．
設(shè)平衡時(shí)，兩小圓環(huán)在大圓環(huán)豎直對(duì)稱軸兩側(cè)α角的位置上（如圖所示）．
對(duì)于重物m，受繩子拉力T與重力mg作用，有T=mg對(duì)于小圓環(huán)，受到三個(gè)力的作用，水平繩子的拉力T、豎直繩子的拉力T、大圓環(huán)的支持力N兩繩子的拉力沿大圓環(huán)切向的分力大小相等，方向相反Tsinα=Tsinα’得α=α’，而α+α’=90°，所以a=45°

點(diǎn)評(píng)：本題中在應(yīng)用機(jī)械能守恒的時(shí)候，由于不知道M和m距離地面的高度也不知道繩的具體的長(zhǎng)度如何，所以本題不能采用初態(tài)的機(jī)械能等于末態(tài)的機(jī)械能來(lái)計(jì)算，要采用M減小的機(jī)械能等于m增加的機(jī)械能來(lái)計(jì)算．