Question

3．如圖所示，M是水平放置的圓盤，繞過其圓心的豎直軸OO'勻速轉動，以經(jīng)過O水平向右的方向作為x軸的正方向．在圓心O正上方距盤面高為h處有一個正在間斷滴水的容器，在t=0時刻開始隨足夠長的傳送帶沿與x軸平行的方向做勻速直線運動，速度大小為v．已知容器在t=0時滴下第一滴水，以后每當前一滴水剛好落到盤面上時再滴一滴水．問：
（1）每一滴水經(jīng)多長時間滴落到盤面上？
（2）要使盤面上只留下3個水滴，圓盤半徑R應滿足什么條件？
（3）若圓盤半徑R足夠大，第二滴水和第三滴水在圓盤上的落點可能相距的最遠距離為多少？此時圓盤轉動的角速度應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）水滴滴下后做平拋運動，根據(jù)高度求出時間．
（2）要使盤面上只留下3個水滴，臨界情況有兩個：第三滴水平拋后恰好落在轉盤的邊緣和第四滴水恰好落在轉盤上，根據(jù)平拋運動的分位移公式列式求解．
（3）當?shù)诙�滴水與第三滴水在盤面上的落點位于同一直徑上圓心的兩側時兩點間的距離最大．利用水平間關系關系可求出．

解答 解：（1）水滴做平拋運動，在堅直方向作自由落體運動，有：
 h=$\frac{1}{2}$gt²
解得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
（2）第3滴水離開圓心 x₃=3vt=3v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
第4滴水離開圓心 x₄=vt=4v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
故圓盤半徑R應滿足：3v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$≤R≤4v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
（3）第2滴水與第3滴水落在同一直線上，且在圓心兩側時，相距最遠，
  d_max=2vt+3vt=5v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
兩滴水落在圓盤上的時間差t與圓周周期T滿足：
  t=（n+$\frac{1}{2}$）T=（n+$\frac{1}{2}$）$\frac{2π}{ω}$
故ω=2π$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n+$\frac{1}{2}$），（n=0，1，2，…）
答：
（1）每一滴水經(jīng)$\sqrt{\frac{2h}{g}}$時間滴落到盤面上．
（2）要使盤面上只留下3個水滴，圓盤半徑R應滿足的條件是：3v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$≤R≤4v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
（3）第二滴水和第三滴水在圓盤上的落點可能相距的最遠距離為5v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$．此時圓盤轉動的角速度應滿足的條件是：ω=2π$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n+$\frac{1}{2}$），（n=0，1，2，…）
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點評 本題難點在于分析距離最大的條件：同一直徑的兩個端點距離最大．運用數(shù)學知識，解決物理問題的能力是高考考查的內容之一．