Question

3．如圖所示，宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面以初速度v₀水平拋出一個小球，小球飛行一段時間t后恰好垂直地撞在傾角為θ的該星球表面的斜坡上，已知該星球的半徑為R，不考慮其它可能存在的阻力．求：
（1）該星球表面的重力加速度；
（2）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）抓住小球垂直撞在傾角為θ的斜面上，根據(jù)平行四邊形定則求出小球的豎直分速度，結(jié)合速度時間公式求出星球表面的重力加速度．
（2）萬有引力提供向心力，萬有引力等于重力求出星球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）撞擊斜坡時，小球的豎直分速度${v_y}=\frac{v_0}{tanθ}$     ①
又v_y=gt   ②
由①②得該星球表面的重力加速度$g=\frac{v_0}{t•tanθ}$   ③
（2）設(shè)該星球質(zhì)量為M，近地衛(wèi)星的質(zhì)量為m，第一宇宙速度為v
有$\frac{GMm}{R^2}=\frac{{m{v^2}}}{R}$  ④
$\frac{GMm}{R^2}=mg$     ⑤
由③④⑤得$v=\sqrt{\frac{{{v_0}R}}{t•tanθ}}$．
答：（1）該星球表面的重力加速度為$\frac{{v}_{0}}{t•tanθ}$；
（2）該星球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{{v}_{0}R}{t•tanθ}}$．

點(diǎn)評 本題考查了萬有引力定律和平拋運(yùn)動的綜合運(yùn)用，通過平拋運(yùn)動的規(guī)律求出星球表面的重力加速度是解決本題的關(guān)鍵．