Question

2009年12月24日，美國的一個研究小組宣布，他們在蛇夫星座中發(fā)現(xiàn)一顆富含水份的行星“GJl214b”．“GJl214b”距離地球約40光年，體積約為地球的2.7倍，質(zhì)量約是地球的6.5倍，環(huán)繞著一顆比太陽小且溫度低的紅矮星運行，軌道半徑為209萬公里，公轉(zhuǎn)周期為38小時．已知地球半徑為6400km，地球表面的重力加速度為9.8m/s²，引力常量G為6.67×10^-11N?m²?kg^-2．由以上信息可估算出（　　）

A．紅矮星的質(zhì)量	B．紅矮星的密度
C．“GJl214b”行星的質(zhì)量	D．“GJl214b”行星的密度

Answer 1

設(shè)紅矮星的質(zhì)量為M，體積為S₁；地球的質(zhì)量為m，體積為S，半徑為r=6400km，表面重力加速度為g=9.8m/s²；則“GJl214b”行星的質(zhì)量為6.5m，體積為2.7S，繞紅矮星軌道半徑為R=209萬公里，向心力為F，公轉(zhuǎn)速度為V，公轉(zhuǎn)周期為T=38小時；
   （1）據(jù)“GJl214b”行星的公轉(zhuǎn)運動和萬有引力充當向心力，
    可得    F=G

6.5mM

R2

=6.5m

V2

R

                           ①
   另據(jù)公轉(zhuǎn)速度   V=

2πR

T

                                   ②
   把②代入①可得紅矮星的質(zhì)量   M=

4πR3

GT2

     （其中R、T、G均為常量，直接代入數(shù)字即可估算出紅矮星的質(zhì)量）    ③
   紅矮星的密度=

M

S1

=

4πR3

GT2S1

            （其中S₁為未知量，無法估算出紅矮星的密度）                            ④
  （2）設(shè)地球表面一物體質(zhì)量為m₁，
   據(jù)萬有引力充當重力得  m1g=G

mm1

r2

    轉(zhuǎn)換得 m=

gr2

G

                        ⑤
   地球的體積      S=

4πr3

3

                                                      ⑥
   則“GJl214b”行星的質(zhì)量=6.5m=

6.5gr2

G

  （直接代入即可估算出行星的質(zhì)量）      ⑦
“GJl214b”行星的體積=2.7S=

2.7×4πr3

3

（為常量，代入即可估算體積）           ⑧
   由③⑦⑧可知選項 ACD正確，由④可知選項 B錯誤
故選 ACD．